麻烦高手给看看， 等边三角形内嵌活动的等腰直角三角形，我一动，要么不是直角，要么不是等腰

例如，我在计算a/b的结果时，如何设置结果显示的小数位数？属性里没有。

官网上面我手机下不了，一直加载不了

有走子动画、提示

如上图，图形在滚动过程中，始终与兰色线保持一个点接触，这图形叫勒洛三角形，是由三条1/6圆弧组成。 A = (0, 0) α = 0 （滑动条，0，2π） B = A + (1; -α) C = A + (1; -α + 2π / 3) D = A + (1; -α + 4π / 3) 分别以B、C、D为圆心，作三段圆弧： c: 圆弧(D, B, C) d: 圆弧(B, C, D) e: 圆弧(C, D, B) 我们想让它滚动起来，为了简化，我们把上图转化为多边形： l1 = {c, d, e} （注意按顺序排列） l2 = 序列(描点(l1, i), i, 0, 1, 1 / 200) p1 = 多边形(l2) 现在它可以以A点为中心旋转了，我

如上图，初看没头绪，它是一条折线，叫希尔伯特曲线，是通过分形所得： q = 4 （整数滑动条，1--5，千万别弄大了） l3 = {(-1, -1), (-1, 1), (1, 1), (1, -1)} l7 = 迭代({逆序排列(位似(旋转(扁平列表(a), (-π) / 2), 0.5, (-2, -2))), 位似(扁平列表(a), 0.5, (-2, 2)), 位似(扁平列表(a), 0.5, (2, 2)), 逆序排列(位似(旋转(扁平列表(a), π / 2), 0.5, (2, -2)))}, a, {l3}, q - 1) h = 折线(扁平列表(l7)) 就上边几条命令就可以把它画出来，过程是这样的，初始图如下： 一次迭代图： 和初图相比

已知：f(x-2)=-f(x)，求函数f(x)的周期。 周期函数：若有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数，其周期为T，我们用运算区试试： 第一行输入：f(x-2)=-f(x) 第二行输入：左边($1) - 右边($1) = 0 第三行输入：替换($2,x,x - 2) 第四行输入：$2 - $3 第五行输入：替换($4,x,x + 4) 第六行输入：左边($5) + f(x) = 右边($5) + f(x) 由此解得f(x)的周期为4。

多数情况下，我们都是通过作图法操作球面，如使用工具画个球： O=(0,0,0) R=1 f: 球面(O, R) 系统自动给出其方程：x^2+y^2+z^2=1 但有时候使用参数方程，更容易控制球在局部，特别是结合点的球坐标表示法，更便于计算。 R=1 a = 曲面(R sin(α) cos(β), R sin(α) sin(β), R cos(α), α, 0, π, β, 0, 2π) 这就是球坐标参数方程，α是球上的点连接原点与z轴夹角（是夹角，不是角度，是有区别的，因此它是0到π），β是点到xOy平面的投影连接原点，与x轴形成的角度，（这里

不打算讲代码，说一下思路： 第一步目标，建立一个如下足球模型： 采用的是多边形拼接法： A = (1, 0, 0) B = 旋转(A, (360°) / 5, z轴) poly1 = 多边形(A, B, 5, xOy平面) poly2 = 多边形(B, A, 6, xOy平面) 画一个正五边形和正六边形 E = 多边形(A, B, 5, xOy平面) K = 多边形(B, A, 6, xOy平面) H = 多边形(B, A, 6, xOy平面) c: 圆周(直线(A, B), H) d: 圆周(直线(A, E), 旋转(K, -(72°), z轴)) G = 交点(d, c) poly3 = 正六边形(B, A, G) 通过两圆交点把六边形旋转上来，下面就是拼接图形，不再一一讲

先说一下费马点，如下图，在三角形ABC中有一点动点P，求PA+PB+PC最小值，这个最小值就是P移动到费马点时的值： A = (7.33194, 6.51164) B = (3.30534, 2.73497) C = (10.54883, 2.63574) f = 线段(A, B) g = 线段(B, C) h = 线段(C, A) P = (7.7401, 4.24824) l = 线段(P, A) m = 线段(P, B) n = 线段(P, C) 特殊情况我们暂不考虑，如三角形有顶角大于120度的情况，我们不妨再看看费马点的作法： A' = 旋转(A, 60°, B) c: 圆周(A, A', B) i = 线段(A', C) D = 交点(c, i, 2) j = 线段(A, A') k = 线段(A', B

已知一个圆（圆心未知）和圆上一点，用一把无刻度的尺子作圆在此点的切线。 1、任意在圆上描三个点，连接A和其中一点： 2、作出过这四点的四边形的边所在的直线： 3、A点不动，调整D、B、C，让四条直线交于两点，过这两点作一直线： 4、复制出直线方程，如果是5.0的话，直接用F4复制，然后A、B不动，调整C，如下，新兰色直线与复制的兰色直线交于一点，此点为A的极点，连结A和此点，切线就用出来了（红色）： 当然，真正单尺作图是直接重画

我们知道，点在GeoGebra中可以是直角坐标、极坐标、向量、复数等形式表示，我们先从直角坐标开始： 设平面内有两点A（-1，2）、B（3，1） A = (-1, 2) B = (3, 1) 两点间的中点坐标可表示如下： C = (A + B) / 2 其1/3处（靠近A点）坐标如下： D = A + (B - A) / 3 更进一步，其五等分点如下： l1 = 序列(A + k (B - A) / 5, k, 1, 5) 那到底A+B或者B+A以及B-A是什么意思呢？这个可从向量的加减说起了，把点转化为向量： u = 向量(A) v = 向量(B) E = B + A w = 向量(E) f = 线段(A, E) g = 线

需要用到CAS计算器 找到指令 CAS专有指令——交点（如图一） 格式 焦点（曲线1，曲线2） 其中曲线可以是名称（f，g，eq1），也可以是方程（f（x）=a） 解方程的话直接将第二条曲线写成y=0即可 一次方程和二次方程可以输出精确解，（如图二三）三次以上方程，超越方程一般无法输出精确解。（如图四） 而且可能会遇到无法输出的情况（如图五）

我的贴子《二分树》就是一个分形图，勾股树也是分形（《浅谈迭代列表》），下面再讲讲关于分形的普遍做法。 我们用分形中经常举例的图（如下）为例： f = 线段((-3, 0), (3, 0)) A = 顶点(f, 1) B = 顶点(f, 2) C = A + (B - A) / 3 D = A + 2(B - A) / 3 E = (A + B) / 2 + f sqrt(3) / 6 单位法向量(f) l1 = {线段(A, C), 线段(C, E), 线段(E, D), 线段(D, B)} 以上代码根据线段f，画出如下图形： 通常做法是把上边代码做成自定义工具，输入项为f，输出项为l1，暂命名为"分形1“。 对于

上述图形不是固定的，是可以随机变化的，如下： 先介绍两个自定义工具： 第一个自定义工具叫“二分线”，就是根据两点，作二分叉图形，如下： 其输入是点C、点D、两分叉长度、两分叉角度，输出为两分叉线段的列表。 另一个工具叫“粗线段”，根据两点和宽度值，作一矩形： 两个工具都很简单，就不多说，关键是上边的树如何实现？ 代码并不复杂： A = (0.25419, -6.29294) B = (0.30268, -3.2623) f = 线段(A, B) n = 8 α = 0.43633 rad β = -0.7854 rad l1 = 迭代列表(

GeoGebra中生成集合可以用序列、映射、迭代列表。 其中映射最好理解，从一个列表，通过运算到另一个列表，元素是一一对应关系，如列表l1={A，B，C，D，E，F}，用这5个点画5个单位圆： 映射(圆周(m,1),m,l1) 它的使用是不需要元素序数参与计算时非常简捷。 再来说序列，这是GeoGebra中用的最多的命令，需要元素序数参与计算时，就用使用“列表”命令了，如不使用折线命令的情况下，把l1={A，B，C，D，E，F}五个点用线段连起来： 序列(线段(l1(m),l1(m+1)),m,1,

关机图： 开机图： 代码： 按钮点击时脚本： 赋值(a,!a) 启动动画(b,a) 滑动条b更新时脚本： T=系统时间()

简单的界面示意功能，没有实现球边撞击、球球撞击运动。 l1 = 序列((4 + 4ί) ί^k, k, 0, 3) l2 = (x(l1) * 2, y(l1)) q1 = 多边形(l2) 用复数画一个边长2：1的绿色矩形，作为桌面。 l3 = 合并({l2, {(0, -4), (0, 4)}}) l4 = 映射(圆周(a, 0.4), a, l3) q2 = 多边形(映射(a - 0.3b, a, l2, b, l1 / 4)) A = 内点(q2) c: 圆周(A, 0.3) 画六个洞，母球，母球圆心活动范围的框。 l7 = 合并({l2, {l2(1)}}) l8 = 序列(线段(l7(i), l7(i + 1)), i, 1, 4) l9 = 映射(平移(a, b), a, l8, b, {(0, 0.5), (-0.5, 0), (0, -0.5), (0.5, 0)}) l10 = 映

以多边形为例，在封闭区域产生随机点很容易，一个命令的事： 序列(随机内点(p1),i,1,100) 但是我们现在想在封闭区域内随机产生多个圆，且这些圆不能相交，方便小朋友去数个数，情况就娈复杂多了。 （点坐标省去） l1 = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, A} （列表时，最后加上第一个点，后面用的上） p1 = 多边形(l1) 由于产生的是圆,我们不能简单地以这个多边形为边界，要根据圆半径向内等距缩小（不能用位似命令）。 r = 0.1 （要生成圆半径） l2 = 序

图形如下，求最简单和作图方法。

利用多边形相交路径实现图形编织，圆可以通过描点法转化为多边形。

在GeoGebra中，复数可以用点来表示，反过来，点的坐标可以用复数形式给出，如： z_1 = 4 + 6ί，在绘图区显示坐标为(4,6)的点。 如果仅仅如此的话，复数在GeoGebra中就显得多余，其实复数是在复平面上，只是我们这里的直角坐标平面与复数平面重叠罢了，复数简单运用先举个例子： z_2 = 4 + 4ί l1 = 序列(z_2 ί^k, k, 0, 3) q1 = 多边形(l1) 这个运用有时候比点的旋转还好使，看你怎么设计表达式了。（注ί不是i，看清楚，是虚数ί） 复数作为变量又是什么呢？ 输

、、 l1 = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, A} a = 样条曲线(l1, 3) 如图，任意样条曲线a,如何给它加个如下框，要求框随线动？ 样条曲线是不能直接求最大最小值的，可以用导数来求，我在另一篇贴子讲过，这里精度要求不高，作简化处理： 用的是描点法求出四个边界值，嫌精确不够，你电脑又很牛X的情况下，描点可以增加到一万。

如上图，A、B为固定点，P为单位圆上一动点，圆心在原点，A在y轴上，求AP+BP最小值。 b = 曲线(cos(t), sin(t), t, 0, 2π) A = 描点(y轴) O=(0,0) B = (4, 1) P = 描点(b) f = 线段(A, P) g = 线段(P, B) h = 线段(A, B) i = 线段(A, O) j = 线段(O, B) 我们设一参数t，t为0到2π,然后用(t,b(t))在圆周上取序列点，再给出AP+BP的表达式，t与表达式组成点列数据。 l1 = 序列((t, 距离(A, b(t)) + 距离(B, b(t))), t, 0, 2π, 0.1) 这个点列非常接近正弦或者余弦图形，因此，我们用正弦拟合： p(x) = 如果(0

如图，有A、B、C三点，在线段AB、BC上均匀取n个点，定义一线段，起点为AB上的点，止点为B上的点，依次取均匀点，则线段序列如下： A = (-2.50468, -1.46694) B = (3.72762, -1.60998) C = (2.07248, 2.73219) f = 线段(A, B) g = 线段(B, C) h = 线段(C, A) n = 40 l1 = 序列(A + t (B - A), t, 0, 1, 1 / n) l2 = 序列(B + t (C - B), t, 0, 1, 1 / n) l3 = 序列(C + t (A - C), t, 0, 1, 1 / n) l4 = 序列(线段(l1(i), l2(i)), i, 1, n) 同理，其它两边包络线如下： l5 = 序列(线段(l2(i), l3(i)), i, 1, n) l6 = 序列(线段(l3(i), l1(i)), i, 1

有两条曲线如下： g: x² + 3y² - 2 = 0 f: x² - 3x + 3 - y = 0 求两曲线上最近两点或者两曲线最小距离。 不要脸之一——暴力列表法： 先在抛物线上取一段离椭圆较近的曲线段，然后在曲线段上描1000个，分别计算与椭圆最近距离，然后找出最小值对应的点： A = 描点(f) C = 描点(f) a = 曲线(t, f(t), t, x(A), x(C)) l1 = 序列(描点(a, i), i, 0, 1, 1 / 1000) l2 = 映射(距离(m, 最近点(g, m)), m, l1) b = 最小值(l2) c = 索引(b, l2) B = l1(c) D = 最近点(g, B) 如何觉得这方法不够准确，我们还

本吧已经谈过关于折线或者多边形的方程问题，我们可以用如果语句分段给出折线方程，也可以用符号函数拼出方程，还可以从反演图形中提取折线方程，也可以仿反演计算出方程，甚至用曲线拼接法生成，有兴趣的可以搜一下本吧，这里先给出仿反演计算出折线方程，这是绝对值方程，相对来说方程不复杂，比较实用： 我是把上述代码做成了工具，输入项为l1，输出项为b，运算速度还可以。 本贴讨论的不是此法，而是另一种更为简单的方法，只是

如上图，我们有一条样条曲线，怎么求出它的最高点和最低点（图中红色点）？ 我们先画出这条曲线（点坐标略去） l1 = {A, B, C, D, E, F, G} a = 样条曲线(l1, 3) 然后对曲线进行求导： b = 参数导数(a) 图中兰色虚线为参数导数的图象，这里不能直接用“导数”命令来求曲线导数，因为那样是对自变量t求导，等一下再讲参数导数是怎么回事。 I = 交点(y = 0, b) H = 交点(y = 0, b) f: 垂线(H, x轴) g: 垂线(I, x轴) J = 交点(f, a) K = 交点(g, a) 上述操作，简单来说，就是求

如题，如何制作成这样的GIF？

如题，希望可以实现：计算在x[0,1]；y[0,1]的正方形内的n个点到某一定点(如（0.5，0.5）)的平均距离，但是对数值列表和随机生成还不甚熟练，希望可以得到吧内大佬的帮助！

如图，三个函数： 最后要实现这样的结果： 这个其实就是分段函数了，一般做法是求出交点，用交点分段，这里采用函数比较法： f(x) = x² - x - 2 g(x) = sin(x) h(x) = x - 5 p(x) = 如果(f(x) ≤ g(x), f(x), g(x)) 第一个比较函数图形如下： 然后继续比较： q(x) = 如果(p(x) ≥ h(x), p(x), h(x)) 最后再区间化： s(x) = 如果(-6 ≤ x ≤ 6, q(x))

GeoGebra中可以直接使用工具“反演",关于其定义及几何特性，大家可以百度，这里谈谈其光学意义及广义上的反演，这个广义反演只是在这里暂时起个名字，实际讨论的是一个几何图形关于任意圆锥曲线对称问题。 先来看看几何图形的轴对称： 当AB为一条直线时，原像与镜像全等，只是方向相反，这个在光学上好比是照镜子。 但当我们在AB上取一点，把AB变为圆弧AGB后，其对称图形变化就大了： 从光学意义上来说，相当于原像在照哈哈镜，其实镜

如题，这是一个讨论问题，尽管网上给出了双三次样条曲面的复杂表达式，但可能是本人看不懂，一直没能够转化到GeoGebra中来，有哪位大神做过，不妨放上来学习一下。 本人如今只想到了替代办法，就是探讨由四条曲线决定的曲面问题，我们已经实现了三条曲线曲面问题，如何继续实现四条曲线的曲面，由于运算量太大，我们就在二维平面中讨论。 如下图，平面四条样条曲线a、b、h、d： (直接略去点的坐标了） l1 = {A, B, C, D, E} a = 样条曲线(l1, 3) l2 =

请大神指点一下，谢谢

不规则曲面一般用样条曲线来控制其形状，我们讨论过两条曲线之间曲面形成的问题，但较为复杂的空间曲面不能只用此法生成曲面，因为有个最大问题，曲面之间的光滑拼接，这里有三条空间样条曲线： l1 = {A, B, C, D, E} l2 = {F, G, H, I, J} l3 = {K, L, M, N, O} a = 样条曲线(l1, 3) c = 样条曲线(l3, 3) b = 样条曲线(l2, 3) 由这三条曲线构成的曲面怎么弄，我们先试试两曲线之间曲面生成之法： q = 曲面(u a(t) + (1 - u) c(t), u, 0, 1, t, 0, 1) r = 曲面(u c(t) + (1 - u) b(t), u, 0, 1, t,

如图，阿尔法控制圆锥母线的倾斜角，贝塔控制截面的倾斜角。 做图代码见左侧代数区。 说明： 本图从圆锥曲线第二定义出发来说明平面截圆锥后会得到圆锥曲线。 各点、线、面定义如下： 水平的平面q为球与圆锥的公共点所在平面，我们会证明他与截面的交线l为圆锥曲线的准线，球与截面的切点F为圆锥曲线的焦点。 P是曲线上任意一点，P所在母线与水平面q交于Q，过P做q的垂线垂足为H，过P做l的垂线垂足为L。 推导过程参见图中的式子。

先讨论一下平面两条曲线之间的过渡图形，假如有函数p(x)与q(x)，从p到q过渡曲线公式是： u*p(x)+(1-u)q(x) 这里我们设： p(x) = x + 5 q(x) = sin(x - 1) - 1 l6 = 序列(u p(t) + (1 - u) q(t), u, 0, 1, 0.1) 得到的图形如下： 多数情况下曲线表达式是不确定的，我们可以用样条曲线代替： 设有下列两样条曲线（具体的点列略去）： g = 样条曲线(l3, 3) h = 样条曲线(l4, 3) 我们参考上边的方法，将g和h作为简单函数处理： l5 = 序列(曲线(u g(t) + (1 - u) h(t), t, 0, 1), u, 0, 1, 0.1) 这里与上

这个图是将以前弄的平面勾股注水立体化，我没找到以前的贴子，只好先从平面勾股注水说起： A = 描点(x轴) B = 描点(x轴) C = 描点(半圆(A, B)) poly1 = 多边形(A, C, 4) poly2 = 多边形(C, B, 4) poly3 = 多边形(B, A, 4) 先画出勾股矩形，如下： s: 直线(A, B) t: 垂线(E, s) d: 垂线(F, s) J = 交点(t, s) K = 交点(d, s) M = 如果(y(D) ≥ y(G), D, G) f_1: 直线(M, e) L = 交点(f_1, t) N = 交点(d, f_1) q1 = 多边形(J, K, N, L) 根据上边两矩形位置，画出注水矩形范围框。 p = 2.39 g_1: y = p P = 交点(g_1, q1)

要在球面上打孔，一个孔还好办，两个孔心连线过球心也好办，画一条弧线旋转成曲面就行了（见《红灯笼》贴），但如下图，在一个球面上开六个圆孔，孔在三条轴线出入位置，这个怎么画？ 很显然，它不可能简单地用一条弧线旋转而成，只能对球面进行拼接： 我们先在x=4平面上作一个半圆： A = (4, -1, 0) B = (4, 1, 0) eq1: x = 4 c: 半圆(A, B, eq1) 然后对这个半圆以y轴为旋转轴作45度曲面，再以水平面对称一下： a = 曲面(c, π / 4, y轴) b = 对称(a, xOy平面) 把a

作图过程： 在3D视图中，画一个带孔（不带孔也行）的椭球体c，再画一条其半边轮廓线J,其中椭球体是可以通过j的旋转生成，这里是直接给出其曲面参数方程： c = 曲面(3sin(u) (-sin(v)), 3sin(u) cos(v), 2cos(u), u, π + 0.3, 2π - 0.3, v, 0, 2π) j = 曲线(0, 3sin(u), 2cos(u), u, π + 0.3, 2π - 0.3) 然后在椭球体开孔边缘描点，直接利用其参数方程给出点A、B，然后画出开孔处的圆： A = c(2π - 0.3, 0) d: 圆周(z轴, A) B = c(π + 0.3, 0) e: 圆周(z轴, B) 开孔处上下画圆柱： a: 圆柱(d, 0.5) g:

这是一个每面有九个孔的正六面体，如何在3D中把它画出来呢？ 我们首先从最基本的图形开始： a = 0.5 （滑动条，控制矩形大小） b = a / 2 （控制孔的大小） A = (2, 2) D = A + a B = A - (a, 0) C = A + (a, 0) E = A + (-a, a) l1 = {B, C, D, E} q1 = 多边形(l1) F = A + (b, 0) G = A - (b, 0) c: 半圆(G, F) 上边命令是画一个矩形和一个半圆，大小、位置可控（用A点控制位置）。 l2 = 序列(描点(c, i), i, 0, 1, 1 / 20) l3 = 合并({逆序排列(l2), {C, D, E, B}}) p1 = 多边形(l3) （填充色不透明，线径为0)

先做一个简单点的，用函数图像模拟： a = 9.3 （滑动条，0--6π，增量0.01，单向递增） f(x) = 如果(0 ≤ x ≤ 6π, sin(x - a) + 2) A = (0, 0) B = (6π, 0) C = (6π, 6) D = (0, 6) l1 = {A, B, C, D} q1 = 多边形(l1) （白色反向填充，不透明） b = 积分介于(f, 0x, 0, 6π) 在实际运用中，一般是图片作为背景，图片不会像函数图像那样周期性地出现，我们要实际其滚动，至少满足两个条件：1、图片左右接近边缘地方是一致的，如上图函数左右边缘值是相等的；2、需要至少两张一样的

棱台在GeoGebra是没有直接的命令的，需要我们自己制作，我们假设棱台底面在水平面，给出底面多边形顶点点列、底面与顶面位似比和顶面形心点，就可以制作出棱台。 为保证能制作成自定义工具，我们直接给出点列坐标列表，而不是直接输入点： l1={(-0.77145, -2.28054, 0), (1.06454, -2.32231, 0), (1.74619, -1.13393, 0), (1.0134, 1.48171, 0), (-0.27374, 2.35758, 0), (-2.59766, 1.5131, 0), (-2.22737, -0.89154, 0)} a = 0.6 p1 = 多边形(l1) I = 形心(p1) p2' = 位似(p1, a, I) 用给定列表绘制出底面

群号1097763532

在3D绘图区，画一个球是很容易的： 如何在它上面画出经纬线呢？GeoGebra本身是可以自动生成的，不用上边的球面，我们画一个圆： 然后以此生成一个球形曲面： 调整颜色和线径，经纬线就出来了，但我们发现，经纬线除可调整线径和虚实外，是不能操作的，包括着色，如果需要后续使用这些经纬线，就需要手工绘制了，同样以圆开始，先绘经线： 在圆四分之一圆周上等距离（弧线）取点，然后画圆，绘制纬线： 将绘制的纬线对称一份到上半球，显

大佬们，像这样的两条线，一开始的时候可以看到有两个点，但是在下一次轮回两个点就重合了，想问下要怎么样设置才能让A,B两个交点会一直显示，而不是重合？？