二次曲线  
second-degree curve  
    平面直角坐标系中x，y的二次方程所表示的图形的统称。常见的二次曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线。因为它们可以用不同位置的平面截割直圆锥面而得到（见图），因此又称为圆锥截线。特殊情形时，二次方程可以分解为两个一次方程的乘积，这时，二次曲线就退化为两条直线，或者是两条相交直线，或者是两条平行直线，或者是两条重合直线，也包括两条共轭虚直线或者两条平行虚直线的情形。例如二次方程x2－y2＝0就表示两条相交直线x＋y＝0及x－y＝0；x2＋y2＝0就表示两条共轭虚直线（或说表示一个点）。通过对二次方程进行的讨论，可以将二次曲线分为三大类型：椭圆型，双曲型和抛物型。再细分，即可得上面提到的各种曲线，也包括退化成直线的情形，共有9种。圆作为椭圆的特殊情形包括在椭圆之中，而不单独算一种。通过坐标轴的适当的平移和旋转，可以把任意一个二元二次方程化简，从而区别出它表示9种曲线中的哪一种。也可以通过不变量由二次曲线方程的系数，直接判定它表示的曲线的种类。所谓不变量，是指方程的系数间的一个代数式，它的值不因坐标系的平移和旋转而改变。还可以通过二次曲线的方程，来讨论二次曲线的中心，直径和共轨直径，对称轴及渐近线等有关几何事项。

中心曲线方程的化简
     对中心曲线F（x,y）=0，令O′（ ， ）为其中心，若  
将坐标原点平移至O′，则新方程中将不含一次项，再选取适当的θ角，作旋转变换，还可消去方程中的交叉乘积项，最终中心曲线的方程可化简为
     （1）      由于 ， ∴ 全不为0，从而中心曲线（1）关于新系的x′，
      y′轴对称，即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时，则曲线的方程便简化为
（1）      例1：化简二次曲线方程x²-xy+y²+4x-2y=0  
    解：所给二次曲线的二主直径为x+y+2=0 ，x-y+2=0
      取坐标变换公式   
   即   
   代入原方程有x′²+3y′²-8=0
     即
无心曲线方程的化简
     对无心曲线F（x,y）=0，选取适当的θ角作旋转变换，可消去方程中的交叉乘积项，即  
    方程简化为
     由于 ∴ 有且仅有一为0，不妨设 =0 ，再配方有
      作平移   二次曲线
则方程最终简化为
     （2）      由于 ∴      从而无心曲线（2）关于x〃轴对称，即x〃轴是其一主直径，且x〃州与曲线的交点是新坐标系的坐标原点。
     可见以无心曲线的主直径作为x′轴，以过顶点且与主直径垂直的直线作为y′轴建立新系，则曲线的方程便简化为
（2）
      例2：化简二次曲线方程x²+2xy+y²+2x-2y=0  
    解：所给曲线的一主直径为x+y=-0，曲线的顶点为原点，取过顶点且与主直径垂直的直线x-y=0，并取坐标变换，为
     即
      代入原方程并化简为

线心曲线方程的化简
     对于线心曲线F（x,y）=0，取一中心 （ ， ），并作平移变换即可消去方程中的一次项，再选取适当的α角作旋转变换，还可消去交叉乘积项，最终方程简化为  
      二次曲线
由于 ∴ 有且仅有一为0，不妨设 ，则线心曲线方   
   程化简为
（3）
      由于 ，∴曲线（3）关于x′轴对称，可见新坐标系的x′轴是其主直径，即以曲线的一主直径作为x′轴建立新坐标系，则在新系下，曲线的方程将简化为
（3）      例3：化简二次曲线方程 x²-2xy+y²+2x-2y=0  
    解：可以验证所给曲线是线心曲线，其主直径为x-y+1=0 再取一与主直径垂直的直线x+y=0，作坐标变换   
   即  
    代入原方程并化简得   
   总结上述化简二次曲线方程的方法，可得如下结论：
      选取适当坐标系，可使
     中心二次曲线的方程的化简为
     无心二次曲线的方程的化简为  
    线心二次曲线的方程的化简为

1°对于中心曲线，其方程可化简为（I）   二次曲线
当 ，令  
    A= ，B= ，则（I）为 Ax²+By²=1   
   若A，B>0，令A= ，B= ，则（I）为
     [1] ——椭圆  
    若A，B<0，令A=- ，B=- ，则（I）为
     [2] ————虚椭圆      若A>0，B<0,令A= ，B=- ，则（I）为  
   [3] ————双曲线      同理当A<0，B>0时，也是双曲线      当 时，令A= ，B= ，则（I）为  
    [4] ———— 一点  
    同理，若A，B<0,则（I）也为一点      若A>0,B<0，令A= ，B=- ，则（I）为  
   [5] —————二相交直线      同理 若A<0，B>0,则（I）也为二相交直线。
     2°对于无心曲线，其方程可化简为（II），令  
    P= ，则（II）为   二次曲线
[6] y&sup2;=2Px ——————抛物线  
    对于线心曲线，其方程可化简为（III），令
     k= ，则（III）为 y&sup2;=k      若k>0，则（III）为
      [7]y&sup2;=a&sup2; ————————二平行直线，  
    若k<0，则（III）为
     [8]y&sup2;=-a&sup2; ————————二平行直线，
     若k=0，则（III）为
     [9]y&sup2;=0 ————————二重合直线。



也称圆锥曲线或圆锥截线，是直圆锥面的两腔被一平面所截而得的曲线。当截面不通过锥面的顶点时，曲线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线。当截面通过锥面的顶点时，曲线退缩成一点、一直线或二相交直线。在截面上的直角坐标系(x,y)之下,这些曲线的方程是x,y的二元二次方程。