从5世纪到15世纪,数学发展的中心转移到了东方的印度、中亚细亚、阿拉伯国家和中国。在这1000多年时间里,数学主要是由于计算的需要,特别是由于天文学的需要而得到迅速发展。和以前的希腊数学家大多数是哲学家不同,东方的数学家大多数是天文学家。从公元6世纪到17世纪初,初等数学在各个地区之间交流,并且取得了重大进展。
古希腊的数学看重抽象、逻辑和理论,强调数学是认识自然的工具,重点是几何;而古代中国和印度的数学看重具体、经验和应用,强调数学是支配自然的工具,重点是算术和代数。大约在公元前1000年,印度的数学家戈涅西已经知道:圆的面积等于以它的半周长为底,以它的半径为高的矩形的而积。
印度早期的一些数学成就是与宗教教仪一同流传下来的,这包括勾股定理和用单位分数表示某些近似值(公元的6世纪)。公元前500年左右,波斯王征服了印度一部分土地,后来的印度数学就受到了外国的影响。数学作为一门学科确立和发展起来,还是在作为吠陀辅学的历法学受到天文学的影响之后的事。印度数学受婆罗门教的影响很大,此外还受希腊、中国和近东数学的影响,特别是受中国的影响。
印度数学的全盛时期是在公元五至十二世纪之间。在现有的文献中,499年阿耶波多著的天文书《圣使策》的第二章,已开始把数学作为一个学科体系来讨论。628年婆罗门这多(梵藏)著《梵图满手册》,讲解对模式化问题的解法,由基本演算和实用算法组成;讲解正负数、零和方程解法,由一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程等组成。已经有了相当于未知数符号的概念,能使用文字进行代数运算。这些都汇集在婆什迦罗1150年的著作中,后来没有很大发展。
印度数学文献是用极简洁的韵文书写的,往往只有计算步骤而没有证明。印度数学书中用10进位记数法进行计算;在天文学书中不用希腊人的“弦”,而向相当于三角函数的方向发展。这两者都随着天文学一起传入了阿拉伯世界,而现行的“阿拉伯数码”就源于印度,应当称为“印度—阿拉伯数码”。
阿拉伯人的祖先是住在现今阿拉伯半岛的游牧民族。他们在穆罕默德的领导下统一起来,并在他死(632年)后不到半个世纪内征服了从印度到西班牙的大片土地,包括北部非洲和南意大利。阿拉伯文明在1000年前后达到顶点,在1100年到1300年间,东部阿拉伯世界先被基督教十字军打击削弱,后来又遭到了蒙古人的蹂躏。1492年西部阿拉伯世界被基督教教徒征服,阿拉伯文明被推毁殆尽。
阿拉伯数学指阿拉伯科学繁荣时期(公元8至15世纪)在阿拉伯语的文献中看到的数学。七世纪以后,阿拉伯语言不仅是阿拉伯国家的语言,而且成为近东、中东、中亚细亚许多国家的官方语言。阿拉伯数学有三个特点:实践性;与天文学有密切关系;对古典著作做大量的注释。它的表现形式和写文章一样,不用符号,连数目也用阿拉伯语的数词书写,而“阿拉伯数字”仅用于实际计算和表格。
对于阿拉伯文化来说,数学是外来的学问,在伊斯兰教创立之前,只有极简单的计算方法。七世纪时,通过波斯传进了印度式计算法。后来开始翻译欧几里得、阿基米得等人的希腊数学著作。花拉子模著的《代数学》成为阿拉伯代数学的范例。在翻译时代(大约850年之前)过去之后,是众多数学家表现创造才能著书立说的时代(1200年之前)。梅雅姆、纳速·拉丁、阿尔·卡西等等,使阿拉伯数学在11世纪达到顶点。
阿拉伯人改进了印度的计数系统,“代数”的研究对象规定为方程论;让几何从属于代数,不重视证明;引入正切、余切、正割、余割等三角函数,制作精密的三角函数表,发现平面三角与球面三角若干重要的公式,使三角学脱离天文学独立出来。1200年之后,阿拉伯数学进入衰退时期。初期的阿拉伯数学在12世纪被译为拉丁文,通过达·芬奇等传播到西欧,使西欧人重新了解到希腊数学。
在西欧的历史上,“中世纪”一般是指从5世纪到14世纪这—时期。从5世纪到11世纪这个时期称为欧洲的黑暗时代,除了制定教历外,在数学上没什么成就。12世纪成了翻译者的世纪,古代希腊和印度等的数学,通过阿拉伯向西欧传播。13世纪前期,数学在一些大学兴起。斐波那契著《算盘书》、《几何实用》等书,在算术、初等代数、几何和不定分析方面有独创的东西。14世纪黑死病流行,“百年战争”开始,相对地是数学上的不毛之地。奥雷斯姆第一次使用分数指数,还用坐标确定点的位置。
15世纪开始了欧洲的文艺复兴。随着拜占庭帝国的瓦解,难民们带着希腊文化的财富流入意大利。大约在这个世纪的中叶,受中国人发明的影响,改进了印刷术,彻底变革了书籍的出版条件,加速了知识的传播。在这个世纪末,哥伦布发现了美洲,不久麦哲伦船队完成了环球航行。在商业、航海、天文学和测量学的影响下,西欧作为初等数学的最后一个发展中心,终于后来居上。
15世纪的数学活动集中在算术、代数和三角方面。缪勒的名著《三角全书》是欧洲人对平面和球面三角学所作的独立于天文学的第一个系统的阐述。
16世纪最壮观的数学成就是塔塔利亚、卡尔达诺、拜别利等发现三次和四次方程的代数解法,接受了负数并使用了虚数。16世纪最伟大的数学家是韦达,他写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作,其中最著名的《分析方法入门》改进了符号,使代数学大为改观;斯蒂文创设了小数;雷提库斯是把三角函数定义为直角三角形的边与边之比的第一个人,他还雇用了一批计算人员,花费12年时间编制了两个著名的、至今尚有用的三角函数表。其中一个是间隔为10"、10位的6种三角函数表,另一个是间隔为10"、15位的正弦函数表,并附有第一、第二和第三差。
由于文艺复兴引起的对教育的兴趣和商业活动的增加,一批普及的算术读本开始出现。到16世纪末,这样的书不下三百种。“+”、“—”、“=”等符号开始出现。
17世纪初,对数的发明是初等数学的一大成就。1614年,耐普尔首创了对对数,1624年布里格斯引入了相当于现在的常用对数,计算方法因而向前推进了一大步。
初等数学时期也可以按主要学科的形成和发展分为三个阶段:萌芽阶段,公元前6世纪以前;几何优先阶段,公元前5世纪到公元2世纪;代数优先阶段,3世纪到17世纪前期。至此,初等数学的主体部分——算术、代数与几何已经全部形成,并且发展成熟。
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