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携一Cauchy方程讨论贴前来拜吧

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Cauchy方程（Cauchy functional equation，好像一般翻译成Cauchy函数方程，这里就简称为Cauchy方程了）就是
f(x+y)=f(x)+f(y)，其中f是R到R的函数。
这里希望讨论一下什么条件可以保证Cauchy方程的解是线性的，即f(x)=f(1)x
欢迎提供关于Cauchy方程线性解得结论（带证明或不带证明）和猜想，也欢迎Cauchy方程其他方面的讨论
1楼2013-07-02 18:53回复
    据说前提是f(x)连续
    IP属地:北京来自Android客户端2楼2013-07-02 18:56
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      附上一些必要引理：
      对任意实数x机有理数q，f(qx)=qf(x)。
      证明：f(0+0)=f(0)+f(0)得f(0)=0，归纳易证对自然数n，f(nx)=nf(x)。
      对负整数n，f(0)=f(nx)+f(-nx)，从而f(nx)=-f(-nx)=nf(x)。
      对y=x/n同样讨论得f(x)=nf(x/n)，即f(x/n)=f(x)/n
      从而f((m/n)x)=mf(x/n)=m/nf(x)
      3楼2013-07-02 19:02
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        有什么好玩的条件么？
        4楼2013-07-02 19:06
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          给个2楼结论的证明
          1. 若f连续，则解是线性的
          证明：利用上面的引理得到f(q)=qf(1)对所有有理数q成立。对任意实数x，取一列有理数{qn}趋于x，则f(x)=lim f(qn)=lim qnf(1)=xf(1)。
          5楼2013-07-02 19:07
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            好高深。
            IP属地:北京来自Android客户端6楼2013-07-02 19:45
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              再写个常见的
              2. 若f在某点连续，则解是线性的
              证明：不妨设f在a点连续，则对任意实数x，对任意序列{xn}趋于x，lim f(xn)=lim f(xn-(x-a))+f(x-a)=f(a)+f(x-a)=f(x)。从而f处处连续，利用1的结论，f的解是线性的
              7楼2013-07-02 21:02
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                3. 若f的图像在R^2上不稠密，则解是线性的
                证明：若不然，有实数r使得f(r)≠rf(1)，则对任意a<b，c<d，关于p、q的不等式组
                a<p+qr<b
                c<pf(1)+qf(r)<d
                有有理数解，取一组有理解p、q，则p+qr∈(a,b)且f(p+qr)∈(c,d)。从而f的图像在R^2上稠密，矛盾。
                8楼2013-07-02 23:31
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                  结论3有很多推论
                  4. 若f在某个区间（或开集）上有界（或有上界或有下界），则解是线性的
                  9楼2013-07-02 23:37
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                    继续3的推论
                    5. 若f是Lebesgue可测函数，则解是线性的
                    证明：找到正整数n使得X={x||f(x)|<n}具有正的Lebesgue测度，则X-X={x-y|x∈X,y∈X}包含一个开集且f在其上有界。由结论3或4可得。
                    10楼2013-07-02 23:39
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                      5的推论
                      6. 若f在一个L-正测集有界（或有上界或有下界），则解是线性的
                      11楼2013-07-03 12:27
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                        继续推论
                        7. 若f在Cantor集上有界（或有上界或有下界），则解是线性的
                        [0,1]⊂C+C/2
                        12楼2013-07-03 12:29
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                          做笔记中。
                          IP属地:安徽来自Android客户端13楼2013-07-03 13:02
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                            御坂那里有个帖子也是这个
                            14楼2013-07-03 14:50
                            收起回复
                              8. 如果选择公理不成立，且所有实数集都Lebesgue可测（注1），则Cauchy方程的解都是线性的。
                              选个n使得X={x| |f(x)|<n}具有正的Lebesgue测度，则X-X包含一个开区间且f在其上有界，由结论3（注意3的证明不需选择公理）知f是线性的。
                              注1：Solovay构造过一个这样的模型。
                              15楼2013-07-03 16:19
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