我是证法

设A(n)为从二开始的素数列，比如A(1)=2,A(2)=3，A(3)=5,A(4)=7,A(5)=11......

然后假设存在“最大素数”，为A(n)，即不存在任何一个素数比A(n)大

令S(x)为素数列的前n项积。则S(n)可以被比S(n)小的任何一个素数整除，由于最小的素数是2，所以"S(n)+1"不可能被比自身小的任何一个素数整除（恒余1），因此"S(n)+1"也是素数。因而也就存在素数比“最大素数”大了，所以存在“最大素数”的假设不成立，所以素数有无数多个

这不就是欧几里得的思路么

不错，有点小问题，要证明S(n)+1的约数只有1和他自身，需要算术基本定理。

我们使用欧拉函数，设p1，p2，...，pn为所有的质数，那么E（p1p2..pn）=1，即只有1一个数与所有素数成绩互质，但E（p1p2..pn）=（p1p2..pn）（1-1/p1）..（1-1/pn）≠1，矛盾，所以素数有无穷个，证毕

这个数未必是素数

还是构造性的好写一点……
显见p[1]=2，p[2]=3是素数，
考虑A[2]=p[1]*p[2]+1，
则A[2]不被p[1]或p[2]整除，
必含有一个不同于p[1],p[2]的素因子，记为p[3]，
假设已有p[1],p[2],...,p[n]，
考虑A[n]=p[1]*p[2]*...*p[n]+1，
则A[n]不被p[i]整除，i=1,2,3,...,n，
必含有一个不同于p[i]（i=1,2,3,...,n）的素因子，记为p[n+1]，
依此类推，可得到无穷多个素数.

不明觉厉

看过的书都是这么证的…

楼主的证法是错的！比如2*3*5*7+1就是和数。
楼主忽略了一个重要的东西！

忽然发现自己根本的思路上就有大问题，纯粹错证，求不笑。
P.s:我想自删但看到那么多前辈的回贴表示不忍浪费前辈们心血