(1)∵y=ax2-4ax+4a+c=a(x-2)2+c,
∴抛物线的对称轴为直线x=2.
∵抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B,点A的坐标为(1,0),
∴点B的坐标为(3,0),OB=3.
可得该抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3).
∵OB=OC,抛物线与y轴的正半轴交于点C,
∴OC=3,点C的坐标为(0,3).
将点C(0,3)代入该解析式y=a(x-1)(x-3).
解得a=1.
∴此抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(如图1)
(2)作△ABC的外接圆⊙E,设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F,设⊙E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点P1,点P1关于x轴的对称点为点P2,点P1、点P2均为所求点.(如图2)
可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线x=2上.
∵∠AP1B、∠ACB都是弧AB所对的圆周角,
∴∠AP1B=∠ACB,且射线FE上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB.
由(1)可知∠OBC=45°,AB=2,OF=2.
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线y=x上.
∴点E的坐标为E(2,2).
∴由勾股定理得 EA=
5
.
∴EP1=EA=
5
.
∴点P1的坐标为P1(2,2+
5
).
由对称性得点P2的坐标为P2(2,-2-
5
).
∴符合题意的点P的坐标为P1(2,2+
5
)、P2(2,-2-
5
).
![](http://imgsrc.baidu.com/forum/w%3D580/sign=f1d132742d2eb938ec6d7afae56385fe/7bae7afe9925bc31f956300d5cdf8db1ca1370f3.jpg)
(3)∵点B、D的坐标分别为B(3,0)、D(2,-1),
可得直线BD的解析式为y=x-3,直线BD与x轴所夹的锐角为45°.
∵点A关于∠AQB的平分线的对称点为A',(如图3)
若设AA'与∠AQB的平分线的交点为M,
则有 QA=QA',AM=A'M,AA'⊥QM,Q,B,A'三点在一条直线上.
∵QA-QB=
2
,
∴BA'=QA'-QB=QA-QB=
2
.
作A'N⊥x轴于点N.
∵点Q在线段BD上,Q,B,A'三点在一条直线上,
∴A'N=BA'•sin45°=1,BN=BA'•cos45°=1.
∴点A'的坐标为A'(4,1).
∵点Q在线段BD上,
∴设点Q的坐标为Q(x,x-3),其中2<x<3.
∵QA=QA',
∴由两点间的距离公式得 (x-1)2+(x-3)2=(x-4)2+(x-3-1)2.
解得x=
11
4
.
经检验,x=
11
4
在2<x<3的范围内.
∴点Q的坐标为Q(
11
4
,-
1
4
).
此时S△QAA'=S△A'AB+S△QAB=
1
2
•AB•(|yA'|+|yQ|)=
1
2
×2×(1+
1
4
)=
5
4
.