在不考虑柯西序列的情况下：
1.00000…−0.99999…=0.00000…
也就是后面的0无限循环。
这两个数目在这里是无限循环小数，小数点后五位之后还会一直填上0，始终无法找到最后一位来填上1。1.000… - 0.999… = 0.000… = 0，故1 = 0.999…。
这假设了0.999…没有“最后的9”、这些无限循环小数的小数点后的位数为可列的（可以由第一个数位一个位一个位数下去而于有限次数到任一个数位）（这已得出0.999…没有“最后的9”）、1.000… - 0.999…的结果存在小数表示式。运算结果将没有“最后的1”，所以1与0.999…没有差值。

无限小数是有限小数的一个必要的延伸，其中一个原因是用来表示分数。用长除法，一个像的简单整数除法便变成了一个循环小数，0.333…，其中有无穷多个数字3。利用这个小数，很快就能得到一个 0.999… = 1 的证明。用 3 乘以 0.333… 中的每一个 3，便得到 9，所以 3 × 0.333… 等于 0.999…。而 3 × (1/3) 等于1，所以 0.999… = 1。
这个证明的另外一种形式，是用1/9=0.111…乘以9。

由于两个方程都是正确的，因此根据相等关系的传递性质，0.999…一定等于1。类似地，3/3=1，且3/3=0.999…。所以，0.999…一定等于1。

用竖式计算可得
设
则

解决此一元一次方程式得:

所以 。

另外一种证明更加适用于其它循环小数。当一个小数乘以10时，其数字不变，但小数点向右移了一位。因此10 × 0.999…等于9.999…，它比原来的数大9。
考虑从9.999…减去0.999…。我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位，结果都是9 - 9，也就是0。但末尾的零并不能改变一个数，所以相差精确地是9。最后一个步骤用到了代数。设0.999… = c，则10c − c = 9，也就是9c = 9。等式两端除以9，便得证：c = 1。用一系列方程来表示，就是

以上两个证明中的位数操作的正确性，并不需要盲目相信，也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的。这个关系，可以用几个等价的方法来表示，已经规定了0.999…和1.000…都表示相同的数。

由于0.999…的问题并不影响数学的正式发展，因此我们可以暂缓进行研究，直到证明了实分析的基本定理为止。其中一个要求，是要刻划所有能表示成小数的实数的特征，由一个可选择的符号、构成整数部分的有限个数字、一个小数点，以及构成小数部分的一系列数字组成。为了讨论0.999…的目的，我们可以把整数部分概括为b0，并可以忽略负号，这样小数展开式就具有如下的形式：

小数部分与整数部分不一样，整数部分只能有有限个数字，而小数部分则可以有无穷多个数字。这一点是至关重要的。这是一个进位制，所以500中的5是50中的5的十倍，而0.05中的5则是0.5中的5的十分之一。

也许小数展开式最常见的发展，是把它们定义为无穷级数的和。一般地：
.
对于0.999…来说，我们可以使用等比级数的收敛定理：
如果，则.
由于0.999…是公比为的等比级数的和，应用以上定理，很快就可以得出证明了：
，
这个证明（实际上是10等于9.999…）早在1770年就在瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的作品《Elements of Algebra》（《代数的要素》）中出现了。
等比级数的和本身，是一个比欧拉还要早的结果。一个典型的18世纪的推导用到了逐项的操作，类似于以上的代数证明。直到1811年，Bonnycastle的教科书《An Introduction to Algebra》（《代数的介绍》）依然使用这种等比级数的方法来证明对0.999…使用的策略是正当的。在19世纪，这种随随便便的求和方法遭到了反对，这样便导致了现在仍然占有支配地位的定义：一个级数的和定义为数列的部分和的极限。该定理的一个对应的证明，明确地把这个数列计算出来了；这可以在任何一本以证明为基础的微积分或数学分析的教科书中找到。
对于数列（x0，x1，x2，…）来说，如果当n增大时，距离|x − xn|变得任意地小，那么这个数列就具有极限x。0.999… = 1的表述，可以用极限的概念来阐释和证明：

最后一个步骤—lim 1/10n = 0—通常由实数拥有阿基米德性质这一原理来证明。这个以极限为基础的对0.999…的看法，有时会用比较引人注意但不太精确的话语来表达。例如，在1846年的美国教科书《大学算术》（《The University Arithmetic》）中有这么一句：“0.999+，到无穷远处等于1，这是因为每加上一个9，都会使它的值更加接近于1”（.999 +, continued to infinity = 1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1）；在1895年的美国教科书《Arithmetic for Schools》（《学校算术》）中也有：“…如果有非常多的9，那么1和0.99999…的差就小得难以想像了”（“…when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999…becomes inconceivably small”）。这种启发式的教学法，常常被学生们误解为0.999…本身就小于1。

以上的级数定义，是一个用小数展开式来定义实数的简单的方法。还有一种补充的方法，是相反的过程：对于一个给定的实数，定义一个相关的小数展开式。
如果知道一个实数x位于闭区间[0, 10]内（也就是说，这个实数大于或等于0，而小于或等于10），我们就可以想像把这个区间分成十个部分，只在终点处相重叠：[0, 1]、[1, 2]、[2, 3]，依此类推，直到[9, 10]。实数x一定是属于这十个区间的一个；如果它属于[2, 3]，我们就把数字“2”记录下来，并把这个区间再细分成十个子区间：[2, 2.1]、[2.1, 2.2]、…、[2.8, 2.9]、[2.9, 3]。把这个过程一直继续下去，我们便得到了一个无穷的区间套序列，由无穷个数字b0、b1、b2、b3、…来标示，并记
x = b0.b1b2b3…
在这种形式中，1 = 1.000…而且1 = 0.999…的事实，反映了1既位于[0, 1]，又位于[1, 2]，所以我们在寻找它的数字时，可以选择任意一个子区间。为了保证这种记法没有滥用“=”号，我们需要一种办法来为每一个小数重新构造一个唯一的实数。这可以用极限来实现，但是还有其它的方法。
一个简单的选择，是区间套定理，它保证只要给出了一个长度趋近于零的闭区间套序列，那么这些区间套的交集就正好是一个实数。这样，b0.b1b2b3…便定义为包含在所有的区间[b0, b0 + 1]、[b0.b1, b0.b1 + 0.1]，依此类推的唯一的实数。而0.999…就是位于所有的区间[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.99…9, 1]（对于任意有限个9）的唯一的实数。由于1是所有这些区间的公共元素，因此0.999… = 1。
区间套定理通常是建立在一个更加基本的实数特征之上的：最小上界的存在。为了直接利用这些事物，我们可以把b0.b1b2b3…定义为集合{b0，b0.b1，b0.b1b2，…}的最小上界。[10]然后我们就可以证明，这种定义（或区间套的定义）与划分的过程是一致的，再一次证明了0.999… = 1。汤姆·阿波斯托尔得出结论：
一个实数可以有两种不同的小数表示法，仅仅是两个不同的实数集合可以有相同的最小上界的一个反映。 (The fact that a real number might have two different decimal representations is merely a reflection of the fact that two different sets of real numbers can have the same supremum.)

有些方法用公理集合论明确把实数定义为一定的建立在有理数上的结构。自然数——0、1、2、3，依此类推——从零开始并继续增加，这样每一个自然数都有一个后继者。我们可以把自然数的概念延伸到负数，得出所有的整数，并可以进一步延伸到比例，得出所有的有理数。这些数系伴随着加法、减法、乘法和除法的算术。更加微妙地，它们还包括排序，这样一个数就可以与另一个进行比较，并发现是大于、小于，还是等于。
从有理数到实数的一步，是一个很大的延伸。至少有两种常见的方法来达到这一步，它们都在1872年出版：戴德金分割，以及柯西序列。直接用到这些结构的0.999… = 1的证明，现在已经无法在实分析的教科书中找到了；最近几个年代的趋势，是使用公理化的分析。即使提供了这样的一个结构，它也通常被用来证明实数的公理，从而为以上的证明提供证据。然而，有些作者表达了从一个结构开始才是逻辑上更恰当的想法，这样得出的证明就更加完备了。

在戴德金分割的方法中，每一个实数x定义为所有小于x的有理数所组成的无穷集合。比如说，实数1就是所有小于1的有理数的集合。每一个正的小数展开式很容易决定了一个戴德金分割：小于某个展开阶段的有理数的集合。所以实数0.999…是有理数r的集合，使得r < 0，或r < 0.9，或r < 0.99，或r小于其它具有 形式的数。0.999…的每一个元素都小于1，因此它是实数1的一个元素。反过来，1的一个元素是有理数 ，也就是。由于0.999…和1包含相同的有理数，因此它们是相同的集合：0.999… = 1。
把实数定义为戴德金分割，首先由理查德·戴德金在1872年出版。 以上把每一个小数展开式分配一个实数的方法，应归于弗雷德·里奇曼在《Mathematics Magazine》（《数学杂志》）上发表的一篇名为“Is 0.999… = 1?”（“0.999… = 1吗？”）的演讲稿，主要是为大学的数学教师，尤其是初级／高级程度，以及他们的学生而作。里奇曼注意到，在有理数的任何一个稠密子集中取戴德金分割，都得到相同的结果；特别地，他用到了十进分数（分母为10的幂的分数），这样便更快得出证明了：“所以，我们看到，在实数的传统定义中，方程 0.9* = 1 在一开始就建立了。”把这个步骤再作进一步的修改，便得到了另外一个结构，里奇曼对描述这个结构更感兴趣；参见以下的“其它数系”。

0.999…的其中一个应用，出现在基本数论中。1802年，H·古得温出版了一份观察资料，描述了分母为一定的素数的分数的小数展开式中9的出现。例子包括：
1/7 = 0.142857142857…，而142 + 857 = 999。
1/73 = 0.0136986301369863…，而0136 + 9863 = 9999。
E·米迪在1836年证明了关于这类分数的一个一般的结果，现在称为米迪定理。当初出版时没有写得很清楚，我们也不知道他的证明是不是直接提到了0.999…，但至少有一个W·G·莱维特的现代证明是这样的。如果我们可以证明，一个具有形式0.b1b2b3…的小数是正整数，那么它就一定是0.999…，这也就是定理中9的来源。在这个方向上继续做研究，就可以得出诸如最大公因子、同余、费马素数、群元素的目，以及二次互反律等概念。
回到实分析的主题上，三进制中的类似等式0.222… = 1在刻划康托尔集合——一个最简单的碎形的特征中，扮演了一个十分重要的角色：
一个单位区间中的点位于康托尔集合内，当且仅当它在三进制中可以只用数字0和2来表示。
小数中的第n位反映了在第n个阶段时点的位置。例如，点²⁄3可以如常地表示为0.2或0.2000…，这是因为它位于第一个删除部分的右面，以及以后所有的删除部分的左面。点1⁄3则不表示为0.1，而表示为0.0222…，这是因为它位于第一个删除部分的左面，以及以后所有的删除部分的右面。
重复的9还出现在另外一个康托尔的研究成果中。在应用他在1891年发表的对角线论证法来证明单位区间的不可数性时，必须要考虑到这种因素。这种证明需要根据小数展开式来断言两个实数是不同的，所以我们需要避免诸如0.2和0.1999…之类的数对。一个简单的方法把所有的实数表示为无限小数；相反的方法便排除了重复的9的可能性。一个可能更加接近于康托尔原先的证明的变体，实际上使用了二进制，把三进制展开式转换为二进制展开式，我们也可以证明康托尔集合的不可数性。

0.999… = 1的证明依赖于标准实数的阿基米德性质：不存在非零的无穷小。存在着数学上密切相关的有序代数结构是非阿基米德的，其中包括标准实数的各种各样的替代品。0.999…的意义与我们使用的结构有关。例如，在对偶数中，引进了一个新的无穷小单位ε，就像复数系统中的虚数单位i一样，但是ε² = 0。这样便得出了一个在自动微分中十分有用的结构。我们可以给予对偶数一个字典序，这样ε的倍数就非阿基米德原素。但是，要注意到，作为实数的延伸，在对偶数中仍然有0.999… = 1。尽管ε在对偶数中存在，ε/2也存在，所以ε就不是“最小的正对偶数”。确实是这样，在实数中，并不存在这类的数。
另外一种构造标准实数的替代品的方法，是使用部目理论和替代的逻辑，而不是集合论和经典的逻辑（一种特殊情况）。例如，在光滑无穷小分析中，就存在没有倒数的无穷小。
非标准分析因包含了一个有无穷小（及它们的反元素）完整阵列的系统而众所周知，它提供了一个不同的，也许是更加直观的，对微积分的处理。A.H. Lightstone在1972年提供了一个非标准小数展开式的发展，其中每一个位于（0, 1）之内的扩展的实数，都有一个唯一的扩展的小数展开式：数列0.ddd…；…ddd…，由扩展的自然数作索引。在这种形式中，0.333…有两种自然的展开式，都不与1/3相差无穷小：
0.333…；…000…不存在，而0.333…；…333…正好等于1/3。
组合博弈论也提供了替代的实数，无穷的蓝-红Hackenbush就是一个相关的例子。1974年，埃尔温·伯利坎普描述了一个Hackenbush字串与实数的二进制展开式之间的对应关系，由数据压缩的想法所促动。例如，Hackenbush字串LRRLRLRL…的值是0.0101012… = 1/3。然而，LRLLL…的值（对应着0.111…2）则与1相差无穷小。两个数的差是超实数1/ω，其中ω是第一个无穷序数；相关的博弈是LRRRR…或0.000…2。

有谁不服？

4进整数（黑点），包括数列（3，33，333，…）收敛于−1。10进数的类似等式，是…999 = −1。