夜王栩2014-09-0314:02提出的这个问题,应该是潘承洞《解析数论基础》
22页“第二章 求和公式§1.Abel的分部求和法”的定理1。
(1)我先回答你的第一个问题:划线第二步这是怎么来的?
=……
(2)这个定理的证明可见于诸多《解析数论》教材之中,比如说:
《解析数论基础》35~36页,(俄罗斯)卡拉楚巴 著,潘承彪,张南岳 译,科学出版社,1984年第一版。
《解析数论引论》102~103页, [Introduction to Analytic Number Theory][美] 阿普斯托著; 赵宏量,唐太明 译 哈尔滨工业大学出版社2011年第一版。
这两本书的证明比较理想。
(3)我说一说教材选择的问题:潘承洞,潘承彪的《解析数论基础》不适合作学习用的教材,特别是初学者,完全不应该看这本书。建议你选择:
(一)闵嗣鹤先生编著的《数论的方法》上册(1958年第一版)、下册(1981年第一版),需要的基础知识是:数学分析,复变函数,华罗庚《数论导引》前七章的知识。
(二)卡拉楚巴:《解析数论基础》(科学出版社),这是一本只有177页的小书,中文版,是“解析数论”的入门书籍之一,应该看看。但是,这本书说是入门,其实不易,要想真正读懂,需要你能够补充其推理过程中省略的许多步骤,没有良好的数学基础和数学能力,恐怕也是难以为继的。这本书的思路相对传统一些,跟“数学分析”、“复变函数”知识的接轨相对平缓,并且讨论的课题也只有三个,因此,它是入门书籍。
(三)如果你可以接受,也可以选择Tom M. Apostol(阿波斯托尔,或者:阿普斯托)的《解析数论引论》,这是要求比较高的教材,有些难度。