由单项式四则运算及取幂所得的式子可以讨论次数和项数，次数和项数是描述一个对称式乃至轮换式的重要属性。
各类算子对次数和项数的影响都是显而易见的。在不等式方面，一个至少轮换的不等式往往是次数待定，零项的。
一个式子的次数和项数在某种程度上可以互相转化，特别是使用AG不等式。例如可以讨论一个非齐次式的平均次数和这时对应的项数。注意，非齐次式的次数不完全是确定的，要由约束条件和取等条件决定。
对于一个齐次的不等式，其次数的讨论往往要看强行化简（通分去分式，取幂去根式）后的结果，这样做的后果是严重增加了式子的复杂度。而对于本身复杂程度较高的式子（多重根式、多个根式），这甚至可能是不可行的。对于这种情况，一般不讨论其次数而考虑其它的释放根式方法。

Muirhead定理属于受控不等式理论的内容，在数学竞赛方面是背景层次的知识。一般的齐次对称式大都可以使用Muirhead定理进行解决，有时需要对优超关系进行排序以确定最好的控制对应。
另一类重要的式子是基本初等对称式σi。这些式子的互相约束关系比较复杂，较好的结果有Newton的一系列公式以及Maclaurin不等式。对于三元情形，Schur不等式当然是最重要的。它是Muirhead定理的一个很有力的补充。
三元齐三次以下的轮换式都是对称式，很简单。齐三次的对称式中最重要的例子是Schur不等式，其最大的意义在于阐明了三次轮换式之间的全部不等关系。在不含有序关系的前提下，三次的仅仅轮换式没有什么意义。
四次及以上的至少轮换式主要可分为两类，一类是对称的高次式，这一般不难解决，对于特别的问题，可能需要结合Schur分拆和SOS方法等强有力的手段进行证明。另一类是仅仅轮换式，特别是不可约的式子。这类不等式往往需要使用配方法进行证明，同时也可能带有一些匪夷所思的取等条件。Vasilie不等式是一个非常著名的例子，和它地位类似的还有以下不等式：*∑x^4+∑x^3y>=2∑xy^3*从这两个式子可以看出，此类不等式对于一般的AG方法已经无效，必须考虑特殊的高次配方法。
如果从狭义代数角度脱离，那么Jensen不等式和Karamata不等式也是这一系列理论的重要手段。Karamata不等式与Muirhead定理一样，都阐明了受控关系在特定映射下的序关系。

无辜
↑忘了怎么写字试一下