基本信息
不同于牛顿-莱布尼茨公式,莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数,
一般的,如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数,那么此时有
(uv)(n) = u(n)v+ nu(n-1)v' + u(n-2)v" + + u(n-k)v(k) + + uv(n)
也可记为
(uv)(n) = nk u(n-k)v(k)
推导过程
如果存在函数u=u(x)与v=v(x),且它们在点x处都具有n阶导数,那么显而易见的,
u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数,且 (u±v)(n) = u(n)± v(n)
至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂,按照基本求导法则和公式,可以得到:
(uv)' = u'v + uv'
(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''
(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''
…………
运用数学归纳法可证
(uv)(n) = u(n)v + nu(n-1)v' + u(n-2)v" + + u(n-k)v(k) + + uv(n)
上式便称为莱布尼茨公式(Leibniz公式)