Majorana费米子
一、
在现代物理学的历史上，意大利人Majorana 是一个谜一般的人物。他天才横溢，像流星一样划过理论物理学的天空，留下了以他名字命名的Majorana 方程，然后在一次旅行中消失，引发后人无数的猜测和传说。我们文章的主角——Majorana 费米子，最早就是用来称呼能够被Majorana 提出的方程描写的粒子。
我们生活的物理世界中有两大类基本粒子：费米子和玻色子。费米子组成了我们的物质世界，而 （规范）玻色子则传递物质间的相互作用。值得一提的是，这句话在2012 年7 月前都是无比正确的金科玉律，直到LHC 发现了迄今知道的唯一一种标量粒子——Higgs 玻色子。费米子种类繁多，包括三代夸克，轻子和中微子。尽管如此，在数学上大部分费米子都由Dirac 方程描述。Paul Dirac 在1928 年基于纯粹的数学构造得到了描写费米子的相对论性方程，并预言了反粒子的存在，而后在1932 年得到了实验的证实。这一直被认为是理论物理最华丽的篇章之一。推而广之，所有的带电Dirac 费米子都有对应的反粒子。正反粒子的唯一区别在于他们的电荷，除此之外的性质都完全相同。Majorana 则在Dirac 方程问世的几年后提出了这样一个问题：对相对论性费米子，反粒子的存在是必然的吗？显然假如粒子不带电，它的反粒子（假如存在的话）和本身将完全无法区分。Majorana 推导出了相应的方程，并建议他的结果可能描写了当时唯一知道的电中性物质粒子——中微子。
将近80 年过去了，中微子是不是Majorana 费米子仍然悬而未决。部分的困难在于中微子不带电。而物理学家绝大部分的测量手段都和粒子的电磁性质有关，毕竟电磁力是唯一一种人类能够在自身可以直接感知的尺度上进行控制的相互作用。这一点不单粒子物理学，凝聚态物理学也如此。因此对中微子的探测都困难重重，需要布下千军万马，层层拦截，才能在浩渺的宇宙中抓住几个。因此在很长一段时间内，Majorana 费米子只是作为一个优美的理论构造存在于理论家的脑海里。
二 、
在物理学的另一分支——凝聚态物理中，人们关心的是物质材料在极低温时的性质，或者更准确的说，物质的基态和低能激发态的性质。粗看起来凝聚态物理和高能物理完全是两个极端：高能实验的必备装置大型粒子加速器小号的也是数公里长，而凝聚态实验的样品很少有超过一个巴掌大的。加速器的能量动辄几百兆电子伏，凝聚态实验物理学家恨不能把温度直接降到绝对零度去才好。但是深层次上两个领域之间却有着千丝万缕的联系。假如我们暂时抛开人类的渺小视野，想象一下整个宇宙作为一个物理体系，处在什么样的状态，就会意识到在大爆炸140 亿年以后，我们生活的宇宙早已冷却到离“基态”不远了。而人类所能观测到的能量尺度，和大宇宙真正的“典型”能量尺度——Planck 能量相比，几乎都小的可以忽略不计。在这个意义上，凝聚态物理和高能物理殊途同归。它们所研究的对象，都是量子多体系统的“低能”状态，所用的语言也基本上是量子场论。所以自然而然的，凝聚态体系的研究也围绕着“基本粒子”展开——某种材料的激发态在量子化后往往可以近似看做独立运动的“准粒子”。这一概念发源于俄国物理学家Landau 对液氦的研究，如今已经是凝聚态理论的基本概念。
这些准粒子作为宏观体系的集体激发态，常常表现出和微观粒子截然不同的行为。光看微观的组成，所有的材料，周期表上从头数到尾，也就是质子、中子和电子各种各样的组合。质子和中子组成的原子核在大多数时候存在感十分稀薄，只是默默搭好晶格背景供电子活动，有些时候会抖一下形成声子。但是就这样貌似十分单调乏味的系统，却一生二，二生三，三生万物地衍生出花样繁多的准粒子——声子，旋子，极化激元，等离激元，任意子⋯⋯这也是凝聚态物理学最引人入胜之处。
Majorana 费米子能不能作为准粒子出现在凝聚态系统中呢？需要指出的是，这里 “Majorana 费米子”的含义并不仅限于指满足Majorana 方程的基本粒子，而是泛指电中性的费米型准粒子，其反粒子就是自身。我们知道电子和原子核都是带电的，凝聚态系统的能量尺度远远不足以产生任何的正电子。但多体系统的行为只能用一句话形容：只有想不到的，没有做不到的。在凝聚态物理中正好就有这样一类系统，电荷不再守恒：超导体。超导也是二十世纪物理学的一大里程碑式的杰作，也是我们刚才提到的凝聚态物理和高能物理之间联系的绝佳范例（作为凝聚态物理的从业人员，作者不得不表示这几乎是唯一一个凝聚态物理反过来启示高能物理的例子）。我们在这里简单的复习一下超导体的性质。在超导体中，电子之间通过某种吸引作用两两配对，形成所谓的Cooper 对。Cooper 对的凝聚就产生了超导现象。从某种意义上来说，超导体就是一个Cooper 对的汪洋大海。在这样的海洋中，产生一个电子和产生一个空穴（即“反粒子”）的差别消失了：这两个态仅仅差了一个Cooper 对，而一个Cooper 对相对于无穷无尽的凝聚体来说显然是微不足道的。这也就是我们通常所说的超导体自发破坏了电荷守恒对称性，电荷只是模2守恒。正因为如此，超导体中电子和空穴的界限变的模糊起来，两者可以形成量子叠加态作为超导体的低能激发，这样的“准粒子”是电中性的[1] 。用二次量子化的语言，可以把准粒子的产生算符写成
其中ψ电子的消灭算符，u 和v 是叠加的权重 （见图1）。到此Majorana 费米子似乎已经呼之欲出了：电中性，费米子，粒子和反粒子的叠加态。但是且慢，电子除了电荷还有自旋自由度，而常见的超导体都是自旋单态配对，即配对的两个电子形成自旋单态。这就意味着最后得到的叠加态也是带自旋的，这样的准粒子不可能是Majorana 费米子。直接看$\gamma$的表达式也能发现准粒子和它的共轭不可能相等。
图1：自旋单态配对超导体中的准粒子激发可以看做自旋向上的电子和自旋向下的空穴的叠加，两者相差一个Cooper 对。
尽管此路有些不通，我们遇到的困难似乎并不是无法克服。既然自旋单态配对不行，能不能让相同自旋的电子形成配对？多体系统再次无所不能，这样的超导配对大自然早都准备好了——祖师爷Landau 研究过的氦3 在低温下形成的超流态就是自旋三重态配对。这还没完，实验家找到了各种各样的材料，例如重费米子超导体，铷氧化物超导Sr_2RuO_4，都具有自旋三重态配对。当然这仅仅是形成Majorana 费米子的必要条件。理论上可以证明，能够出现Majorana 费米子的自旋三重态配对必须有特定的形式，称为手征p 波配对。在这一类超导体中，形成Cooper 对的两个电子之间有相对运动，不妨认为它们在某一平面上互相绕对方顺时针或者逆时针转动，在垂直平面方向的角动量投影是±ℏ。这实际上是Pauli 不相容原理的要求，即相同自旋的电子组成的Cooper 对必须有内部相对运动，来避免两个电子“碰 到”。在这样的超导体中加上磁通产生一个涡旋(vortex)，涡旋的中心就会出现一个零能量的激发态，恰好是我们要寻找的Majorana 费米子！
手征p 波超导体是所谓手征拓扑超导体最简单的例子。除了涡旋中的Majorana 费米子，手征拓扑超导体还有其它不同寻常的性质，例如手征边缘态，量子化Hall热导率等等。遗憾的是，这一回大自然不太配合，迄今我们还没有在自然界中找到手征p 波配对的超导体[2] 。
一、
在现代物理学的历史上，意大利人Majorana 是一个谜一般的人物。他天才横溢，像流星一样划过理论物理学的天空，留下了以他名字命名的Majorana 方程，然后在一次旅行中消失，引发后人无数的猜测和传说。我们文章的主角——Majorana 费米子，最早就是用来称呼能够被Majorana 提出的方程描写的粒子。
我们生活的物理世界中有两大类基本粒子：费米子和玻色子。费米子组成了我们的物质世界，而 （规范）玻色子则传递物质间的相互作用。值得一提的是，这句话在2012 年7 月前都是无比正确的金科玉律，直到LHC 发现了迄今知道的唯一一种标量粒子——Higgs 玻色子。费米子种类繁多，包括三代夸克，轻子和中微子。尽管如此，在数学上大部分费米子都由Dirac 方程描述。Paul Dirac 在1928 年基于纯粹的数学构造得到了描写费米子的相对论性方程，并预言了反粒子的存在，而后在1932 年得到了实验的证实。这一直被认为是理论物理最华丽的篇章之一。推而广之，所有的带电Dirac 费米子都有对应的反粒子。正反粒子的唯一区别在于他们的电荷，除此之外的性质都完全相同。Majorana 则在Dirac 方程问世的几年后提出了这样一个问题：对相对论性费米子，反粒子的存在是必然的吗？显然假如粒子不带电，它的反粒子（假如存在的话）和本身将完全无法区分。Majorana 推导出了相应的方程，并建议他的结果可能描写了当时唯一知道的电中性物质粒子——中微子。
将近80 年过去了，中微子是不是Majorana 费米子仍然悬而未决。部分的困难在于中微子不带电。而物理学家绝大部分的测量手段都和粒子的电磁性质有关，毕竟电磁力是唯一一种人类能够在自身可以直接感知的尺度上进行控制的相互作用。这一点不单粒子物理学，凝聚态物理学也如此。因此对中微子的探测都困难重重，需要布下千军万马，层层拦截，才能在浩渺的宇宙中抓住几个。因此在很长一段时间内，Majorana 费米子只是作为一个优美的理论构造存在于理论家的脑海里。
二 、
在物理学的另一分支——凝聚态物理中，人们关心的是物质材料在极低温时的性质，或者更准确的说，物质的基态和低能激发态的性质。粗看起来凝聚态物理和高能物理完全是两个极端：高能实验的必备装置大型粒子加速器小号的也是数公里长，而凝聚态实验的样品很少有超过一个巴掌大的。加速器的能量动辄几百兆电子伏，凝聚态实验物理学家恨不能把温度直接降到绝对零度去才好。但是深层次上两个领域之间却有着千丝万缕的联系。假如我们暂时抛开人类的渺小视野，想象一下整个宇宙作为一个物理体系，处在什么样的状态，就会意识到在大爆炸140 亿年以后，我们生活的宇宙早已冷却到离“基态”不远了。而人类所能观测到的能量尺度，和大宇宙真正的“典型”能量尺度——Planck 能量相比，几乎都小的可以忽略不计。在这个意义上，凝聚态物理和高能物理殊途同归。它们所研究的对象，都是量子多体系统的“低能”状态，所用的语言也基本上是量子场论。所以自然而然的，凝聚态体系的研究也围绕着“基本粒子”展开——某种材料的激发态在量子化后往往可以近似看做独立运动的“准粒子”。这一概念发源于俄国物理学家Landau 对液氦的研究，如今已经是凝聚态理论的基本概念。
这些准粒子作为宏观体系的集体激发态，常常表现出和微观粒子截然不同的行为。光看微观的组成，所有的材料，周期表上从头数到尾，也就是质子、中子和电子各种各样的组合。质子和中子组成的原子核在大多数时候存在感十分稀薄，只是默默搭好晶格背景供电子活动，有些时候会抖一下形成声子。但是就这样貌似十分单调乏味的系统，却一生二，二生三，三生万物地衍生出花样繁多的准粒子——声子，旋子，极化激元，等离激元，任意子⋯⋯这也是凝聚态物理学最引人入胜之处。
Majorana 费米子能不能作为准粒子出现在凝聚态系统中呢？需要指出的是，这里 “Majorana 费米子”的含义并不仅限于指满足Majorana 方程的基本粒子，而是泛指电中性的费米型准粒子，其反粒子就是自身。我们知道电子和原子核都是带电的，凝聚态系统的能量尺度远远不足以产生任何的正电子。但多体系统的行为只能用一句话形容：只有想不到的，没有做不到的。在凝聚态物理中正好就有这样一类系统，电荷不再守恒：超导体。超导也是二十世纪物理学的一大里程碑式的杰作，也是我们刚才提到的凝聚态物理和高能物理之间联系的绝佳范例（作为凝聚态物理的从业人员，作者不得不表示这几乎是唯一一个凝聚态物理反过来启示高能物理的例子）。我们在这里简单的复习一下超导体的性质。在超导体中，电子之间通过某种吸引作用两两配对，形成所谓的Cooper 对。Cooper 对的凝聚就产生了超导现象。从某种意义上来说，超导体就是一个Cooper 对的汪洋大海。在这样的海洋中，产生一个电子和产生一个空穴（即“反粒子”）的差别消失了：这两个态仅仅差了一个Cooper 对，而一个Cooper 对相对于无穷无尽的凝聚体来说显然是微不足道的。这也就是我们通常所说的超导体自发破坏了电荷守恒对称性，电荷只是模2守恒。正因为如此，超导体中电子和空穴的界限变的模糊起来，两者可以形成量子叠加态作为超导体的低能激发，这样的“准粒子”是电中性的[1] 。用二次量子化的语言，可以把准粒子的产生算符写成
其中ψ电子的消灭算符，u 和v 是叠加的权重 （见图1）。到此Majorana 费米子似乎已经呼之欲出了：电中性，费米子，粒子和反粒子的叠加态。但是且慢，电子除了电荷还有自旋自由度，而常见的超导体都是自旋单态配对，即配对的两个电子形成自旋单态。这就意味着最后得到的叠加态也是带自旋的，这样的准粒子不可能是Majorana 费米子。直接看$\gamma$的表达式也能发现准粒子和它的共轭不可能相等。
图1：自旋单态配对超导体中的准粒子激发可以看做自旋向上的电子和自旋向下的空穴的叠加，两者相差一个Cooper 对。
尽管此路有些不通，我们遇到的困难似乎并不是无法克服。既然自旋单态配对不行，能不能让相同自旋的电子形成配对？多体系统再次无所不能，这样的超导配对大自然早都准备好了——祖师爷Landau 研究过的氦3 在低温下形成的超流态就是自旋三重态配对。这还没完，实验家找到了各种各样的材料，例如重费米子超导体，铷氧化物超导Sr_2RuO_4，都具有自旋三重态配对。当然这仅仅是形成Majorana 费米子的必要条件。理论上可以证明，能够出现Majorana 费米子的自旋三重态配对必须有特定的形式，称为手征p 波配对。在这一类超导体中，形成Cooper 对的两个电子之间有相对运动，不妨认为它们在某一平面上互相绕对方顺时针或者逆时针转动，在垂直平面方向的角动量投影是±ℏ。这实际上是Pauli 不相容原理的要求，即相同自旋的电子组成的Cooper 对必须有内部相对运动，来避免两个电子“碰 到”。在这样的超导体中加上磁通产生一个涡旋(vortex)，涡旋的中心就会出现一个零能量的激发态，恰好是我们要寻找的Majorana 费米子！
手征p 波超导体是所谓手征拓扑超导体最简单的例子。除了涡旋中的Majorana 费米子，手征拓扑超导体还有其它不同寻常的性质，例如手征边缘态，量子化Hall热导率等等。遗憾的是，这一回大自然不太配合，迄今我们还没有在自然界中找到手征p 波配对的超导体[2] 。
