在此之前不免唠几句：正四面体是四个面都为相同的等边三角形所组成的闭合图形。
由于正四面体如此简单粗暴的特性，导致这货早就被研究烂了233
可是今天用积分推导其体积公式的方法，亦是可以将其推广到其他图形上的。在最后会有说明~
下面开始~
如图所示就是这么个东西...

先设正四面体的边长为a

方法一：

如图所示，以正四面体的四个顶点为正方体不相邻的顶点，正好可以做一个正方形。此时正方形的边长为。不难看出正四面体可以看成是这个正方体切去了四个角之后构成的图形，于是

评价：无难度，最投机取巧也是最简便的方法

方法二：
直接看图吧…

评价：运用底面积乘高，同样不难，算作是第一个正儿八经的证明~~但是难以推广到其他的图形上。

第三种（网上暂时还没找到类似推导~~）：
设底面的外接圆半径为r，
高为h（从其中一个顶点到底面外接圆圆心的距离），

底面面积

体积

评价+总结：嗯嗯嗯，就是这样~~~运用积分法从最底下那个边长为a的正三角形开始积分到最顶上！
当然，此种方法也可以推广到楔形、截头巨型角锥、截头直圆锥等等一系列形状当中去~~