我从小就习惯于把数学当成一门哲学,而非一门完全依靠逻辑为生的学科,这让我在中学时代吃过很多亏。幸而所遇的教我的几位数学老师都是颇有远见之人,才没让应试把我内心深处最渴望的追寻消磨殆尽。
有趣的是,时隔多年后,我发现不止我一个人有类似的想法,就连一流的数学家,也会发出类似的感慨。小平邦彦在他的数学印象中就这样描述道:
人们通常认为数学是一门由严密逻辑所构建的学问,即便不是与逻辑完全一致,也大致相同。实际上,数学与逻辑并没有多大关系。当然,数学必须遵循逻辑。不过,逻辑对于数学的作用类似于语法对于文学。书写符合语法的文章与用语法编织语言、创作小说是截然不同的。同样,依照逻辑进行推论与使用逻辑构筑数学理论也并非同一层面上的事情。
此外,小平邦彦认为「数学(与物理一样),以自然现象为研究对象,是一门实验科学」与西方国家的某些学派观点亦是大相径庭,并将他的想法总结如下:
也许有人认为将自然现象的一部分作为数学的研究对象太过鲁莽。但是,正如数学家在证明新的定理时,通常不会说「发明」了定理,而是表达为「发现」了定理。由此可见,数学现象与物理现象一样,都是自然界中的固有之物。我也证明过几个新定理,但我从来不觉得那些定理是自己想出来的。这些定理一直都存在,只不过碰巧被我发现了而已。经常会有人指出,数学对于理论物理学有着不可思议的奇妙作用。甚至会让人产生一种观念,以为所有物理现象都需要依托数学法则而存在。而且,大部分情况下,在物理学理论被发现之前,数学家们早就准备好了该理论所需的数学知识。黎曼空间对于爱因斯坦广义相对论的作用就是最好的例子……正如费曼(R. P. Feynman)所言,除了数学之外,没有其他方法能说明态叠加原理了。我们只能认为量子力学基于数学的无穷魔法,因此我认为物理现象的背后存在着固有的数学现象。
也许有人认为,物理学家需要进行各种实验,而数学家仅仅在思考而已。不过,这种情况下的「思考」含有「思考试验」的意思,与考试中对题目的「思考」性质全然不同。考试题目一般是将固定范围内的已知内容组合在一起,一小时之内肯定能够解开,所以相当于提供了明晰的思考对象和思考方法。然而,实验是调查未知的自然现象,因此无法预测结果,甚至无法得到结果。这种实验的形式 同样存在于数学中,探究未知数学现象的思考实验,其思考对象和思考方法都具有未知性。这也是数学研究过程中最大的困难。
此外,小平邦彦还有一段特别打某些身患「不关心应用癌」的纯粹数学工作者的脸的言论:
现今的数学,通过具体事实的归纳来猜想定理极其困难,不仅如此,定理与具体事实的关系也在发生变化。在大学低年级的数学中,定理之所以是定理,是因为其可应用于许多事实中,没有应用的定理则多没有意义。好的定理可以说就是应用广泛的定理。从这个意义上来说,函数论的柯西积分定理是最好的数学定理之一。但是在最近的数学中,几乎很少看到拥有广泛应用性的定理。岂止如此,许多定理几乎毫无应用性可言。正如某君不客气地评价:「现代数学只有两种,有定理却没有应用实例的数学与只有应用实例却没有定理的数学。」从现代数学的立场出发,「不管有没有应用,好的定理就是好的定理」,不过我却总觉得没有应用的定理多少还是有点儿美中不足。