右边最优能放到(n-1)/n * M。如果一个取0剩下的取一样就知道这个不能改进。
证明的话,先调整:固定最小和最大,调整其余的变元。通过求导可以判断,如果变元超过几何平均,就应该往大调整直到达到最大值;如果低于几何平均,就应该往小调整直到达到最小值。这样的话就能调整到k个变元取最大值a,n-k个变元取最小值b,要证明
ka+(n-k)b-n a^(k/n) b^((n-k)/n) <= (n-1) (sqrt(a)-sqrt(b))^2
即证明
2(n-1)sqrt(ab) <= (n-1-k)a+(k-1)b+n n a^(k/n) b^((n-k)/n)
右边的系数全部拆成系数为1的单项,一共2n-2项用个大均值即可证明。