渣渣的方法:不妨设a≤b≤c,令f(a)=1+2(abc)^n-∑a^(2n),则f'(a)=2na^(n-1)((bc)^n-a^n),故当a≥bc时f(a)≥f(b)=(1-c^n)(1+c^n-2b^(2n))≥0.当a<bc时若f(0)≥0,则f(a)≥f(0)≥0,下设f(0)<0,且不再假定b≤c,易知f(bc)≥0,必有u∈(0,bc]使f(u)=0,当n=1时也有v∈(0,a]使f(v)=0,今只需证u≤v,即证f(v)≥0(n>1),由v的定义易得v对c的导数(隐函数求导)v'=(c-bv)/(bc-v).
令g(b,c)=f(v),则g'c=2n(vbc)^n((v'/v)(1-(v/bc)^n)-((c/vb)^n-1)/c),欲证g'c≤0,只需证(v'/v)(1-(v/bc)^n)≤((c/vb)^n-1)/c,即证((c/vb)-1)(1-(v/bc)^n)≤((c/vb)^n-1)(1-(v/bc)),即证1+(v/bc)+...+(v/bc)^(n-1)≤1+(c/vb)+...+(c/vb)^(n-1),这显然成立,故g关于c递减,同理也关于b递减,所以g(b,c)≥g(1,1),又当b=c=1时v=1,故g(1,1)=0,从而f(v)≥0,证毕.