= =+

数 制 与 编 码
一、常见的数制
1、数制：指用一组固定的符号和统一的规则来表示数的方法，也称计数制。
　　2、进位计数制：按进位的方法进行计数，如十进制、二进制等，日常生活和计算机中均采用进位计数制。进位计数制包括三个要素：数位、基数、位权
　　　①、数位：指数中各数字的位置；
　　　②、基数：指进位计数制中数字的个数。
　　　③、位权：某数位上数字所代表的数值大小等于该数字乘以一个固定的数，这个固定的数就是这个数位的位权。
例如：常见进位计数制的三要素基本情况如下…
十进制： 数位  …… 百位 十位 个位 • 十分位 百分位 千分位 ……
           基数   10（共有0~910个数字） 
         位权  …… 102 101 100 • 10-1 10-2 10-3 ……
二进制： 数位  …… 第3位 第2位 第1位 • 第1位 第2位 第3位 ……
           基数    2
         位权  ……22 21 20 • 2-1 2-2 2-3 ……
八进制： 数位  …… 第3位 第2位 第1位 • 第1位 第2位 第3位 ……
         基数    8
         位权  ……82 81 80 • 8-1 8-2 8-3 ……
十六进制：数位 …… 第3位 第2位 第1位 • 第1位 第2位 第3位 ……
基数   16
位权 ……162 161 160 • 16-1 16-2 16-3 ……
二、不同进位数制之间的转换
1、十进制整数与N进制整数之间的转换
十进制转换为N进制：除N取余法
例如：
(39)10=(　)2 (135)10=(　)8 (415)10=(　)16
 
        说明：①、计算时，按被除数、除数、商、余数的顺序书写；
　　　　　　   ②、除到商为0才能结束；
　　　　　　   ③、最后一个余数到第一个余数分别对应结果的最高位到最低位；
　　【小结】除N取余法，就是用要转换的十进制数去除以N，把余数写在整除商的旁边，并用得到的商继续去除以N，如此循环，直到商为0，最后把所有的余数从最后一个写到第一个，就得到了对应的N进制整数。
N进制转换为十进制：按权展开法
  例如：
(100111)2=(　)10 (207)8=()10 (19F)16=()10
=1×20+1×21+1×22+0×23
  +0×24+1×25
=1+2+4+0+0+32
=39 =7×80+0×81 
 +2×82
=7+0+128
=135 =15×160+9×161
 +1×162
=15+144+256
=415
        说明：展开时从低位向高位进行，有利于权值的正确性；
　　【小结】按权展开法，就是用要转换的N进制数各数位上的数字乘以对应的位权值，然后按十进制的加法把所有的积加起来，就得到了相应的十进制数。


2、十进制纯小数与N进制纯小数之间的转换
       十进制纯小数转换为N进制纯小数：乘N取整法
        例如：
(0.6875)10=(　)2 (0.85)10=(　)8 (0.6)10=(　)16
 
说明：并不是所有的十进制小数都能转换成精确的N进制小数；
　【小结】乘N取整法，就是用要转换的十进制纯小数乘以N，然后将积的整数部分提出来，并用余下的纯小数再乘以N，如此循环，直到余下的纯小数为0。
       N进制纯小数转换为十进制纯小数：按权展开法
例如：
(0.1011)2=()10 (0.6631)8=()10 (0.9999)16=()10
=1×2-1+0×2-2 
 +1×2-3+0×2-4
=0.5+0+0.125
 +0.0625
=0.68725 =6×8-1+6×8-2 
  +3×8-3+1×8-4
=0.75+0.09375
 +0.005859375
 +0.00024414063
=0.84985851563
≈0.85 =9×16-1+9×16-2 
  +9×16-3+9×16-4
=0.5625+0.03515625
 +0.00219726563
 +0.0001373291
=0.59999079473
≈0.60
说明：小数部分的按权展开法基本同前，只是从高位向低位展开而已。
3、二、八、十六进制之间的转换
二进制 000 001 010 011 100 101 110 111
八进制 0 1 2 3 4 5 6 7
例如：(-1110011.11011)2=(　)8
说明：整数部分从低位往高位分组，不足三位在高位补0；
　　　小数部分从高位往低位分组，不足三位在低位补0
      
二进制 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7
二进制 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
十六进制 8 9 A B C D E F
例如：(-1010011.110101)2=(　)16
【数制转换总结】
　　①、如果要转换的数既有整数又有小数，可分别转换，然后将各自得到的结果加起来就行了；
　　②、要比较几个数的大小时，应将这些数转换成同一数制的形式；
　　③、我们利用“M—→十—→N”可实现任何数制之间的转换；
　　④、二、八、十六进制之间的转换非常实用；
三、二进制算术运算和逻辑运算
１、二进制的算术运算
　　二进制数的算术运算非常简单，它的基本运算是加法。在计算机中，引入补码表示后，加上一些控制逻辑，利用加法就可以实现二进制的减法、乘法和除法运算。
　　（1）二进制的加法运算
　　二进制数的加法运算法则只有四条：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10(向高位进位) 
　　例：计算1101+1011的和
　　由算式可知，两个二进制数相加时，每一位最多有三个数：本位被加数、加数和来自低位的进位数。按照加法运算法则可得到本位加法的和及向高位的进位。
　　（2）二进制数的减法运算
　　二进制数的减法运算法则也只有四条： 0-0=0　0-1=1(向高位借位) 1-0=1　1-1=0
　　例：计算11000011 00101101的差
　　由算式知，两个二进制数相减时，每一位最多有三个数：本位被减数、减数和向高位的借位数。按照减法运算法则可得到本位相减的差数和向高位的借位。
　　（3）二进制数的乘法运算
　　二进制数的乘法运算法则也只有四条： 0 * 0 = 0　0 * 1 = 0　1 * 0 = 0　1 * 1 = 1
　　例：计算1110×1101的积
　　由算式可知，两个二进制数相乘，若相应位乘数为1，则部份积就是被乘数；若相应位乘数为0，则部份积就是全0。部份积的个数等于乘数的位数。以上这种用位移累加的方法计算两个二进制数的乘积，看起来比传统乘法繁琐，但它却为计算机所接受。累加器的功能是执行加法运算并保存其结果，它是运算器的重要组成部分。


１、字符（英文，包括字母、数字、标点、运算符等）编码
　　字符的编码采用国际通用的ASCII码（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码），每个ASCII码以1个字节(Byte)储存，从0到数字127代表不同的常用符号，例如大写A的ASCII码是65，小写a则是97。由于ASCII码只用了字节的七个位，最高位并不使用，所以后来又将最高的一个位也编入这套编码码中，成为八个位的延伸ASCII(ExtendedASCII)码，这套内码加上了许多外文和表格等特殊符号，成为目前常用的编码。 基本的ASCII字符集共有128个字符，其中有96个可打印字符，包括常用的字母、数字、标点符号等，另外还有32个控制字符。
２、汉字的编码（见后面阅读内容）
五、数的编码
1．数的原码、补码和反码表示
　　（1）机器数与真值
　　在计算机中，表示数值的数字符号只有0和1两个数码，我们规定最高位符号位，并用0表示正数符号，用1表示负数符号。这样，机器中的数值和符号全“数码化”了。为简化机器中数据的运算操作，人们采用了原码、补码、反码及移码等几种方法对数值位和符号位统一进行编码。为区别起见，我们将数在机器中的这些编码表示称为机器数（如：10000001），而将原来一般书写表示的数称为机器数的真值（如：-0000001）。
　　（2）原码表示法
　　原码表示法是一种简单的机器数表示法，即符号和数值表示法，设x为真值，[x]原为机器数表示。
　　例：设 x=1100110，则[x]原=01100110
　　　　   x=-1100111，则[x]原=11100111
　　（3）反码表示法 
　　正数的反码就是真值本身；负数的反码，只须对符号位以外各位按位“求反”（0变1，1变0）即可。
　　例：设x=1100110，则[x]反=01100110
　　　　x=-1100111，则[x]反=10011000
　　（4）补码表示法
　　负数用补码表示时，可以把减法转化成加法。正数的补码就是真值本身；负数的补码是符号位为1，数值各位取反（0变为1、1变为0），最低位加1。
　　例：设x=1100110，则[x]补=01100110
　　　　x=-1100111，则[x]补=10011001
　　从上面关于原码、反码、补码的定义可知：一个正数的原码、反码、补码的表示形式相同，符号位为0，数值位是真值本身；一个负数的原码、反码、补码的符号位都为1，数值位原码是真值本身，反码是各位取反，补码是各位取反，最低位加1。真值0的原码和反码表示不唯一，而补码表示是唯一的，即
　　　[+0]原=000…0，[-0]原=100…0
　　　[+0]反=000…0，[-0]反=111…1
　　　[+0]补=[-0]补=000…0
　注：不同编码表示的整数的范围是这样这样的（以Ｎ位二进制位）
　　　原码：0--2n-1(无符号)　　　-2n-1-1--2n-1-1(有符号)
　　　反码：-2n-1-1--2n-1-1(不存在无符号的情况)
　　　补码：-2n-1--2n-1-1(不存在无符号的情况)
　　大家很明显看出，补码表示的范围最大。现以八位二进制位为例说明如下：
　　　原码：00000000-11111111即0-255(无符号)　　11111111-01111111即-127-+127(有符号)
　　　反码：10000000-01111111即-127-+127(因为10000000的值为-127，11111111的值为-0)
　　　补码：10000000-01111111即-128-+127(因为10000000的值为-128，11111111的值为-1)
　　如果没说具体编码形式，则计算机中Ｎ位二进制无符号数的范围是0--2n-1；有符号数的范围是-2n-1--2n-1-1
附汉字的编码
（１）汉字内码
　　汉字信息在计算机内部也是以二进制方式存放。由于汉字数量多，用一个字节的128种状态不能全部表示出来，因此在1980年我国颁布的《信息交换用汉字编码字符集——基本集》，即国家标准GB2312-80方案中规定用两个字节的十六位二进制表示一个汉字，每个字节都只使用低7位（与ASCII码相同），即有128×128=16384种状态。由于ASCII码的34个控制代码在汉字系统中也要使用，为不致发生冲突，不能作为汉字编码，128除去34只剩94种，所以汉字编码表的大小是94×94=8836，用以表示国标码规定的7445个汉字和图形符号。


数 制 与 编 码
一、常见的数制
1、数制：指用一组固定的符号和统一的规则来表示数的方法，也称计数制。
　　2、进位计数制：按进位的方法进行计数，如十进制、二进制等，日常生活和计算机中均采用进位计数制。进位计数制包括三个要素：数位、基数、位权
　　　①、数位：指数中各数字的位置；
　　　②、基数：指进位计数制中数字的个数。
　　　③、位权：某数位上数字所代表的数值大小等于该数字乘以一个固定的数，这个固定的数就是这个数位的位权。
例如：常见进位计数制的三要素基本情况如下…
十进制： 数位  …… 百位 十位 个位 • 十分位 百分位 千分位 ……
           基数   10（共有0~910个数字） 
         位权  …… 102 101 100 • 10-1 10-2 10-3 ……
二进制： 数位  …… 第3位 第2位 第1位 • 第1位 第2位 第3位 ……
           基数    2
         位权  ……22 21 20 • 2-1 2-2 2-3 ……
八进制： 数位  …… 第3位 第2位 第1位 • 第1位 第2位 第3位 ……
         基数    8
         位权  ……82 81 80 • 8-1 8-2 8-3 ……
十六进制：数位 …… 第3位 第2位 第1位 • 第1位 第2位 第3位 ……
基数   16
位权 ……162 161 160 • 16-1 16-2 16-3 ……
二、不同进位数制之间的转换
1、十进制整数与N进制整数之间的转换
十进制转换为N进制：除N取余法
例如：
(39)10=(　)2 (135)10=(　)8 (415)10=(　)16
 
        说明：①、计算时，按被除数、除数、商、余数的顺序书写；
　　　　　　   ②、除到商为0才能结束；
　　　　　　   ③、最后一个余数到第一个余数分别对应结果的最高位到最低位；
　　【小结】除N取余法，就是用要转换的十进制数去除以N，把余数写在整除商的旁边，并用得到的商继续去除以N，如此循环，直到商为0，最后把所有的余数从最后一个写到第一个，就得到了对应的N进制整数。
N进制转换为十进制：按权展开法
  例如：
(100111)2=(　)10 (207)8=()10 (19F)16=()10
=1×20+1×21+1×22+0×23
  +0×24+1×25
=1+2+4+0+0+32
=39 =7×80+0×81 
 +2×82
=7+0+128
=135 =15×160+9×161
 +1×162
=15+144+256
=415
        说明：展开时从低位向高位进行，有利于权值的正确性；
　　【小结】按权展开法，就是用要转换的N进制数各数位上的数字乘以对应的位权值，然后按十进制的加法把所有的积加起来，就得到了相应的十进制数。


2、十进制纯小数与N进制纯小数之间的转换
       十进制纯小数转换为N进制纯小数：乘N取整法
        例如：
(0.6875)10=(　)2 (0.85)10=(　)8 (0.6)10=(　)16
 
说明：并不是所有的十进制小数都能转换成精确的N进制小数；
　【小结】乘N取整法，就是用要转换的十进制纯小数乘以N，然后将积的整数部分提出来，并用余下的纯小数再乘以N，如此循环，直到余下的纯小数为0。
       N进制纯小数转换为十进制纯小数：按权展开法
例如：
(0.1011)2=()10 (0.6631)8=()10 (0.9999)16=()10
=1×2-1+0×2-2 
 +1×2-3+0×2-4
=0.5+0+0.125
 +0.0625
=0.68725 =6×8-1+6×8-2 
  +3×8-3+1×8-4
=0.75+0.09375
 +0.005859375
 +0.00024414063
=0.84985851563
≈0.85 =9×16-1+9×16-2 
  +9×16-3+9×16-4
=0.5625+0.03515625
 +0.00219726563
 +0.0001373291
=0.59999079473
≈0.60
说明：小数部分的按权展开法基本同前，只是从高位向低位展开而已。
3、二、八、十六进制之间的转换
二进制 000 001 010 011 100 101 110 111
八进制 0 1 2 3 4 5 6 7
例如：(-1110011.11011)2=(　)8
说明：整数部分从低位往高位分组，不足三位在高位补0；
　　　小数部分从高位往低位分组，不足三位在低位补0
      
二进制 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7
二进制 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
十六进制 8 9 A B C D E F
例如：(-1010011.110101)2=(　)16
【数制转换总结】
　　①、如果要转换的数既有整数又有小数，可分别转换，然后将各自得到的结果加起来就行了；
　　②、要比较几个数的大小时，应将这些数转换成同一数制的形式；
　　③、我们利用“M—→十—→N”可实现任何数制之间的转换；
　　④、二、八、十六进制之间的转换非常实用；
三、二进制算术运算和逻辑运算
１、二进制的算术运算
　　二进制数的算术运算非常简单，它的基本运算是加法。在计算机中，引入补码表示后，加上一些控制逻辑，利用加法就可以实现二进制的减法、乘法和除法运算。
　　（1）二进制的加法运算
　　二进制数的加法运算法则只有四条：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10(向高位进位) 
　　例：计算1101+1011的和
　　由算式可知，两个二进制数相加时，每一位最多有三个数：本位被加数、加数和来自低位的进位数。按照加法运算法则可得到本位加法的和及向高位的进位。
　　（2）二进制数的减法运算
　　二进制数的减法运算法则也只有四条： 0-0=0　0-1=1(向高位借位) 1-0=1　1-1=0
　　例：计算11000011 00101101的差
　　由算式知，两个二进制数相减时，每一位最多有三个数：本位被减数、减数和向高位的借位数。按照减法运算法则可得到本位相减的差数和向高位的借位。
　　（3）二进制数的乘法运算
　　二进制数的乘法运算法则也只有四条： 0 * 0 = 0　0 * 1 = 0　1 * 0 = 0　1 * 1 = 1
　　例：计算1110×1101的积
　　由算式可知，两个二进制数相乘，若相应位乘数为1，则部份积就是被乘数；若相应位乘数为0，则部份积就是全0。部份积的个数等于乘数的位数。以上这种用位移累加的方法计算两个二进制数的乘积，看起来比传统乘法繁琐，但它却为计算机所接受。累加器的功能是执行加法运算并保存其结果，它是运算器的重要组成部分。


１、字符（英文，包括字母、数字、标点、运算符等）编码
　　字符的编码采用国际通用的ASCII码（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码），每个ASCII码以1个字节(Byte)储存，从0到数字127代表不同的常用符号，例如大写A的ASCII码是65，小写a则是97。由于ASCII码只用了字节的七个位，最高位并不使用，所以后来又将最高的一个位也编入这套编码码中，成为八个位的延伸ASCII(ExtendedASCII)码，这套内码加上了许多外文和表格等特殊符号，成为目前常用的编码。 基本的ASCII字符集共有128个字符，其中有96个可打印字符，包括常用的字母、数字、标点符号等，另外还有32个控制字符。
２、汉字的编码（见后面阅读内容）
五、数的编码
1．数的原码、补码和反码表示
　　（1）机器数与真值
　　在计算机中，表示数值的数字符号只有0和1两个数码，我们规定最高位符号位，并用0表示正数符号，用1表示负数符号。这样，机器中的数值和符号全“数码化”了。为简化机器中数据的运算操作，人们采用了原码、补码、反码及移码等几种方法对数值位和符号位统一进行编码。为区别起见，我们将数在机器中的这些编码表示称为机器数（如：10000001），而将原来一般书写表示的数称为机器数的真值（如：-0000001）。
　　（2）原码表示法
　　原码表示法是一种简单的机器数表示法，即符号和数值表示法，设x为真值，[x]原为机器数表示。
　　例：设 x=1100110，则[x]原=01100110
　　　　   x=-1100111，则[x]原=11100111
　　（3）反码表示法 
　　正数的反码就是真值本身；负数的反码，只须对符号位以外各位按位“求反”（0变1，1变0）即可。
　　例：设x=1100110，则[x]反=01100110
　　　　x=-1100111，则[x]反=10011000
　　（4）补码表示法
　　负数用补码表示时，可以把减法转化成加法。正数的补码就是真值本身；负数的补码是符号位为1，数值各位取反（0变为1、1变为0），最低位加1。
　　例：设x=1100110，则[x]补=01100110
　　　　x=-1100111，则[x]补=10011001
　　从上面关于原码、反码、补码的定义可知：一个正数的原码、反码、补码的表示形式相同，符号位为0，数值位是真值本身；一个负数的原码、反码、补码的符号位都为1，数值位原码是真值本身，反码是各位取反，补码是各位取反，最低位加1。真值0的原码和反码表示不唯一，而补码表示是唯一的，即
　　　[+0]原=000…0，[-0]原=100…0
　　　[+0]反=000…0，[-0]反=111…1
　　　[+0]补=[-0]补=000…0
　注：不同编码表示的整数的范围是这样这样的（以Ｎ位二进制位）
　　　原码：0--2n-1(无符号)　　　-2n-1-1--2n-1-1(有符号)
　　　反码：-2n-1-1--2n-1-1(不存在无符号的情况)
　　　补码：-2n-1--2n-1-1(不存在无符号的情况)
　　大家很明显看出，补码表示的范围最大。现以八位二进制位为例说明如下：
　　　原码：00000000-11111111即0-255(无符号)　　11111111-01111111即-127-+127(有符号)
　　　反码：10000000-01111111即-127-+127(因为10000000的值为-127，11111111的值为-0)
　　　补码：10000000-01111111即-128-+127(因为10000000的值为-128，11111111的值为-1)
　　如果没说具体编码形式，则计算机中Ｎ位二进制无符号数的范围是0--2n-1；有符号数的范围是-2n-1--2n-1-1
附汉字的编码
（１）汉字内码
　　汉字信息在计算机内部也是以二进制方式存放。由于汉字数量多，用一个字节的128种状态不能全部表示出来，因此在1980年我国颁布的《信息交换用汉字编码字符集——基本集》，即国家标准GB2312-80方案中规定用两个字节的十六位二进制表示一个汉字，每个字节都只使用低7位（与ASCII码相同），即有128×128=16384种状态。由于ASCII码的34个控制代码在汉字系统中也要使用，为不致发生冲突，不能作为汉字编码，128除去34只剩94种，所以汉字编码表的大小是94×94=8836，用以表示国标码规定的7445个汉字和图形符号。