可能要避嫌

举贤不避亲，要是真有能力，未尝不可

公主的儿子一般到五军都督府、锦衣卫挂个名，当文官应该不太行。

可以

文官的话不行，宗室出子一般在锦衣卫这种地方。

宁国公主玄孙梅纯。梅纯是成化十七年进士，授职定远知县，因为忤逆上官，弃官回家，后来袭祖职担任孝陵卫指挥使，升任中都留守司署副留守。正德初年梅纯上疏请求回原来的衙门，方便奉曾祖父母之祀，得到允许。
重庆公主之子周贤，周贤在成化二十二年以儒生考中举人，但是会试多次失利，便以公主之子例荫武职，“初以举人授锦衣卫正千户带俸，继指挥佥事，见任管事。”弘治年间升任指挥同知，“至正德间，又以例降千户，又再历都指挥佥事以卒。

没听说不能参加科举，但是公主的儿子，近支外戚，即使能力出众，想出任六部首长或封疆大吏估计不可能。
科举的话不如走武举这条路，公主的儿子有世袭军职可以继承，走武举即使失败对以后袭职也有帮助，如果成功考取武进士则获得了快速提升的本钱，而且军职这块不怎么防外戚，如果的确有能力，成一方军头是有可能的。