只需要注意到B,H,F,G为调和点列就可以了！

是不是没有学习射影几何？

https://wap.cnki.net/touch/web/Journal/Article/GZJY200104002.html《调和线束的应用》
楼主看了文章可能云里雾里的，我在这里重新解释一下。
定义(有向线段):
A,B,C共线，称(ABC)=AC/BC为A,B,C简比
A,B,C,D共线，称(ABCD)=(ABC)/(ABD)为A,B,C,D交比。当交比为-1时，称其A,B,C,D成调和点列，或A,C被B,D调和分割(也可以反过来说)。(正规的交比符号是(A,B;C,D)，以下就不这么打字了。)
线束的交比好说，比如下图，B(ADCE)=(ADCE)。理解可以当点列的交比来理解，好懂些。定义是用正弦定义的，有点麻烦，暂且不表。
把那篇文章浓缩一下就是下面的定理(在这个图里看):
①BD平分∠ABC②BE平分∠ABC的外角③(A,C;D,E)=-1 注意点的顺序④BD⊥BE 这四个条件，知道两个，另外两个就成立。

回到原题，借上面兄弟的图，我们知道AD⊥AG,AH平分∠BAF，就可以推得B,F;H,G为调和点列。再应用到下面的，不仅有调和点列，还有EB⊥EF，于是可以推知EF平分∠AEG