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qzc
原来是熟知的啊
贴个自己的解答
引理:设f是单位圆周S1上映射度不为1的连续映射，则f有不动点。
引理的证明:考虑g(z)=f(z)/z，若f(z)没有不动点，易见g的映射度为0，故有一个从g到取常值1的映射的同伦H:S1×I→S1，使H(z,0)=g(z),H(z,1)=1，故G(z,t)=z*H(z,t)给出从f(z)到恒等映射z的同伦，与f的映射度不为1矛盾。
回到原题，直线l的垂极点是P当且仅当存在过外心O且和l平行的直线l'，使得若l'的垂极点是P'，则PP'是将l平移到l'的向量。因此寻找l等效于在九点圆上找点P'使PP'和l'垂直，设p为过O且和PP'垂直的直线，f(P')定义为p的垂极点(即关于中点三角形的逆steiner点)，由steiner线的角度性质易见当P在九点圆外、九点圆上、九点圆内时f分别有映射度0，-1，-2，由引理知f存在不动点D，那么D满足条件，现在容易作九点圆的内接三角形DEF使P为DEF的垂心，则映射PP'→f(P')就是关于DEF的逆steiner点，因此D,E,F是f仅有的不动点。现在作D',E',F'使向量OD'=DP等，那么O是△D'E'F'的垂心，且△D'E'F'的反补三角形的三边是所求直线，现在△D'E'F'的外接圆半径是R/2(R为给定的三角形ABC的外接圆半径)，故其反补三角形的外接圆是以O为圆心R为半径的圆，这恰为△ABC的外接圆。
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引理:设f是单位圆周S1上映射度不为1的连续映射，则f有不动点。
引理的证明:考虑g(z)=f(z)/z，若f(z)没有不动点，易见g的映射度为0，故有一个从g到取常值1的映射的同伦H:S1×I→S1，使H(z,0)=g(z),H(z,1)=1，故G(z,t)=z*H(z,t)给出从f(z)到恒等映射z的同伦，与f的映射度不为1矛盾。
回到原题，直线l的垂极点是P当且仅当存在过外心O且和l平行的直线l'，使得若l'的垂极点是P'，则PP'是将l平移到l'的向量。因此寻找l等效于在九点圆上找点P'使PP'和l'垂直，设p为过O且和PP'垂直的直线，f(P')定义为p的垂极点(即关于中点三角形的逆steiner点)，由steiner线的角度性质易见当P在九点圆外、九点圆上、九点圆内时f分别有映射度0，-1，-2，由引理知f存在不动点D，那么D满足条件，现在容易作九点圆的内接三角形DEF使P为DEF的垂心，则映射PP'→f(P')就是关于DEF的逆steiner点，因此D,E,F是f仅有的不动点。现在作D',E',F'使向量OD'=DP等，那么O是△D'E'F'的垂心，且△D'E'F'的反补三角形的三边是所求直线，现在△D'E'F'的外接圆半径是R/2(R为给定的三角形ABC的外接圆半径)，故其反补三角形的外接圆是以O为圆心R为半径的圆，这恰为△ABC的外接圆。
