《常微分方程》期末考试A卷
姓名：
专业：
学号：
学习中心：
一、填空题（每个空格4分，共40分）
1、 是 一 阶微分方程，是 非线性 方程（填“线性”或“非线性” ）。
2、给定微分方程 ，它的通解是 （C为任意常数） ，通过点（2，3）的特解是 。
3、微分方程 为恰当微分方程的充要条件是
。
4、方程 的通解为 ，满足初始条件 的特解为 。
5、微分方程 的通解为 。
6、微分方程 的通解为 ，
该方程可化为一阶线性微分方程组 。
二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。
1、 ；
解：
2、 ；
解：
3、 ；
解：
4、 .
解：
三、（8分）考虑方程 假设 及 在xOy平面上连续，试证明：对于任意 及 ，方程满足 的解都在 上存在。
证明：
根据题设，可以证明右端函数在整个xoy平面上，满足延展定理及存在与唯一性定理的条件，易于看到， 为方程在 上的解。由延展定理可知， ， 任意， 的解 上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性， 又不能穿过直线 ，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而，这解应在 上存在。
四、（10分）设 ，求解方程组 满足初始条件 的解 。
解：
五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。
证明：见书。
一阶微分方程 (1)
其中 是在矩形域R： ， 上的连续函数。
定义1 如果存在常数L>0，使得不等式 ，对于所有 都立，则函数 称为在R上关于y满足Lipschitz条件。
定理1 如果 在R上连续且关于y满足Lipschitz条件，则方程（1）存在唯一的解 ，定义于区间 上，连续且满足初始条件 这里 。