二楼是抛砖引玉专用楼层。鄙人的浅薄理解是，度规提供了一个时空舞台甚至轨道来引导或规定粒子的运动轨迹或者趋势，直接的体现是时空曲率由度规决定。物理里的给定度规还是不同于数学上给流形的给定度规的含义，物理里的度规是有实在的物理意义的，因此拥有度规的物理是有实在效应的体现，体现的效果就是力。对称张量应该是经验结合实际观测的结果。直接测量度规可能做不到，但是引力场的一切可观测效应都是间接测量吧。

爱因斯坦方程中描述引力的几何量是里奇曲率和度规，的确曲率也是唯一由度规一二阶导线性组合的Tensor，但我们会发现，在一些修改引力里时空中有挠…所以第一个问题是有些难说的

那今天我也来说说我的看法吧。
关于这个问题，我想将它分成两个我认为足够涵盖讨论范围的小问题：
1、几何语言与场论语言之争；
2、广义协变性的地位之争。
其中，我认为第一点的争论直接导致了对第二点的回答。
首先是第一个问题。何谓几何语言？何谓场论语言？这个在我这里其实也缺乏一个明晰的界限。如果非要说的话，那就是当我处理引力时，度规到底是一种确定局域曲率与大范围拓扑性质的几何量，还是像电动力学与QFT中的场论一般，只是一个具有微分同胚对称性的二阶对称张量的特殊的规范场论。
一般来说，这两种看法在“GR框架内”是很少打架的。因为我可以认为，在几何语言下，Einstein场方程是度规的限制方程。Einstein理论限定了自然界存在的几何结构，而我们对他物理的分析则来自于给定度规后确定的曲率。而站在场论语言下，我们需要从Einstein-Hilbert作用量出发来得到Einstein场方程，而这套技术都是经典场论中的技术。所以似乎二者之间没有什么深刻的不同。而同时，我们对于GR的研究也早就明白了曲率是如何影响观测者族的运动，从而影响观测的。这似乎给出来了一个很好的连接二者的途径。
但是，一旦我们继续深入的思考这个问题，就会逐渐的发现一些奇怪的地方。特别的，如果我们想要跳出广义相对论，讨论一些别的问题时，问题似乎就变得更加棘手。
比如说之前 @抬头依旧 所提到的有挠率引力的问题。此时由于我们不能从度规出发唯一决定联络，这就引入了额外的修正项。此外，像标量-张量引力中引入的引力的标量自由度等等都是反例。修改引力都有一些物理上的motivation，所以也就构成一个有物理意义的潜在的驳论。
再比如另一个非常经典的问题——低维引力。引力理论中有一个非常经典的结论，就是如果时空是1+1维或1+2维的，那么这种引力都不存在局域的传播自由度。或许我们可以说，这样的引力“不会传播”。此外，这类低维引力的任意解总是局域等价的。那么我们在低维下讨论的这种引力还真的能称为是“引力”吗？可是由于低维时空技术上处理十分方便，很多有趣的量子引力的结论和探索都是做在低维上的。那么如果我们的目的是要去探索引力的量子本质，这种只有几何却无“演化”的情况下的计算是否是足够给出我们实际生活的世界的insight呢？
甚至在纯广义相对论的层面上，我们也会面临着一些困难。比如说，在纯几何语言的讨论下，时空度规往往是作为先验给定的存在，也即我们首先预设了时空整体的性质，而后去分析其上的物理。这最为明显的就是黑洞与事件视界的问题。可是由于引力是存在演化的，而且还是非线性的演化，这就使得我们很有必要去寻找实际的演化中，黑洞是否已经形成。此时，时空先验存在的弊端就会出现——因为我们需要事先给定过去与未来无穷远的几何信息才可以定义事件视界。
再比如讨论广义相对论的哈密顿形式时产生的诸多奇特之处。如果我们认为广义相对论是一种经典规范场论，那么对他做哈密顿分析也是很自然的事情。可是在哈密顿形势下，广义相对论就会变成一种“哈密顿语言下的纯规范理论”。它的意思是说，考虑一个度规场的相空间，广义相对论在其中起到的作用似乎仅仅是确定空间几何（哈密顿形式需要引入时间，所以做了时空的分解）在哪个相空间的超曲面之上。而同时这里还有非常经典的“时间问题”，这个问题就说来话长了，需要去看相关的文献才好解释。

而如果回归GR的话，我们再去梳理一下几何语言与场论语言的差异，似乎也会察觉到其中的微妙之处。这种差异很微妙，我也说不好具体是什么，只作为一个简单的讨论：
几何语言：
时空性质由度规描述→度规是几何量→实际观测者观察到的是曲率张量的性质→决定局部观测的结果→引入一族观测者使他们的路径覆盖住整个时空→进一步获得时空整体的性质；
场论语言：
引力满足广义协变性原理→需要引入规范场：度规→度规存在的额外自由度中有一些是坐标选取的自由度→实际观测时引入规范条件定解→得到确定的时空几何；

前辈的讨论是很深刻的 ，我想在低维情形下说广相是几何是完全合理的，因为1+1维时Rμv~外曲率K，所以E-H作用量给出的是拓扑性质，而1+2维时我们如果考察辐射规范条件之类的，那么可以约束掉度规的全部分量~~所以1+2维根本就不存在可传播的物理自由度，从这个方面讲1+3就极为特殊，我们甚至不能先验知道任何关于时空几何结构的东西，而且还会自然演化出奇点，来改变时空拓扑形状~

如果考虑的很仔细的话 一个时空的拓扑结构在不断的改变，似乎是一件很不合理的事

哈哈，至于可观测量、广义协变性与规范的问题，我相信会有人替我讲清楚的。开这个“每周一问”的系列帖子，就是希望拿出来一些学界里的确存在争议的长久没有结果，或者是模糊的需要讨论清的问题给大家看。这些问题既包括科学问题，也包括一些原则上属于科学哲学的问题～

民科插一嘴，这问题的范围太大了，很难说。
”1、几何语言与场论语言之争；“我从这里入手。作点限定，几何语言指广相4维语言，场论指量子场规范场论。
4维空间(时空)中的较对称的图形（如：正4面体），限定时间度规为线性或闵式时。则对称图形会破缺出一个不对称的，有指向的图形（不好理解，可以从3维空间的正立方体表面，展开到2维平面上看），对着指向施加一个旋转对称性（李群底基上的小圆圈结构），则指向可以看成为力（群生势）。这样就把4维几何变到3维几何+力。
①4维几何---4维时空弯曲；
②3维几何恢复4维闵式时空+力（力转化成3维场），则变为4维闵式时空+3维位形弯曲。
这就是2种观点之争，在中国从周培源那儿就开始了。要指出，①和②都在实数范围，但上面施加一个旋转对称性时，产生了相位问题，所以已进入复数范围，这是规范场论。

将引力纳入规范场论时，空间结构形式（李群底基结构）就特别重要。上面②说的力，在长程范围内有2种：
1.相位结构自旋为1的是电磁力，李群为U(1)群，传递作用的玻色子是自旋为1的光子，这两个在复数和变换到实数中的自由度都是一致的，U(1)群给出相位空间变换，相位空间变换衍生出(纤维)丛空间给出”流“和电荷守恒。
2.相位结构自旋为2的是引力，李群用的有SO(1，3)，或U(1)，还有一种嘴巴说的自旋为2的酉群。传递作用的玻色子是自旋为2的引力子，其复数自由度为2，实数自由度最少是3。
有一些理论用SO(1，3)，其中SO(3)里有一个特出截面，有对径认同的概念，显示自旋为2的效果(见梁老的“李群李代数与纤维丛”视频的第17集)，可以和引力子对上，但是这是实数群(我们喜欢复数群)，而且左右手法则显示有对消效果，只能描述弱引力。
U(1)群的结构根本就对不上引力子自旋为2的结构，而且U(1)是1阶形式，引力是2阶形式。
还有一种嘴巴说的自旋为2的酉群，这个需要把结构描述出来，引力不只有1阶2阶问题，还有质量力--体积力的问题

物理、化学……是科学，数学只是科学所必需的工具。

这个问题和量子力学有多种诠释一样，广义相对论也有多种诠释，几何诠释只是其中一种。