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看都看不懂

毕竟会辛几何就不可能不会微分几何

路过。

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辛几何人震怒
首先我认为黎曼几何（实几何分析）复几何和辛几何都属于微分几何的分支，和黎曼几何复几何并列很中肯，不丢人。
然后关于你看的文章，我觉得要么是你看的文章比较初等，要么是你没往后翻。尽管辛几何最大的问题Arnold猜想的叙述在初等框架下就能完成，但（不同版本的）证明需要用到各种后续知识。你类比其它方向也是一个道理。
至于为什么很多人觉得辛几何憋屈，主要是因为国内做辛几何的人太少。哪怕清华今年也才招到第一个做辛几何的。这个问题应该会在几年内逐渐改观。
最后介绍一下我知道的辛几何里一些常见方法。一是Floer同调，简单来说就是在流形的loop space上对某些含辛形式的积分泛函作Morse理论得到的同调，用它来研究原流形。二是微局部层论，可以把余切从的拉格朗日子流形跟流形上的constructible sheaf建立一一对应，把子流形的性质转化为层的性质然后考虑层上同调。三是由伪全纯曲线出发搞量子上同调啥的，这条路衍生出了镜像对称这门学科，我还不会，不知道具体细节。

因为世界上绝大部分人听都没听说过这东西
一般经过义务教育的也就只知道平面几何、代数几何和解析几何，大学本科是数学系的会知道基础的微分几何。再细分下去比如黎曼几何，不是纯数学系的根本就不会学。

上个学期上了辛几何的课，三分之一的课都在讲经典力学，三分之一的都在讲普通的微分几何，只有最后三分之一在讲辛几何

大开眼界，百度结果如下：
辛几何（symplectic geometry）与代数几何和微分几何是平行的三个数学分支，是研究辛流形（symplectic manifold）的几何与拓扑性质的学科。它的起源和物理学中的经典力学关系密切，也与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。 不同于微分几何中的另一大分支--黎曼几何，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念。这使得辛几何的研究带有很大的整体性。

不知道。。。平面几何已经够难了

因为硕士项目重翻了理论力学的书，才慢慢了解到这个东西。

毕竟产生的原因就和力学脱不开关系，总会提一嘴，然后本身又抽象又难，除非纯数学研究，很多地方用其它就能得到不少结果。不过前景还挺乐观的，一方面它待开发，一方面总会有想整点不一样的人在。

我是物理系的不太懂数学，但是辛几何和经典力学关系确实很紧密，辛几何也是从Arnold的《经典力学的数学方法》书上了解的

辛几何是一门相对较新的分支学科，在数学物理和理论物理等领域有广泛的应用，其研究对象是具有局部辛结构（即容许任意对称性的双线性型）的流形。虽然辛几何在近年来得到了快速发展和普及应用，但总体来说还是一个相对抽象和高度数学化的学科，需要深入的数学功底。至于你所提到的格罗莫夫、哈密顿力学等都属于辛几何的相关概念和理论，但对于非专业人士或初学者可能会比较难以理解。