也可以这样做，设P(z)=∑a[i]*z^i，Q(z)=∑b[i]*z^i，i=0~n，其中b[i]是a[i]的共轭复数
如果用z'表示z的共轭复数，那(P(z))'=∑(a[i]*z^i)'=∑b[i]*z'^i =Q(z')
则|P(z)|²=P(z)*(P(z))' =P(z)*Q(z')
当z取z^N=1的N个根z₁, z₂, …, z[N]时，z'=z^(-1) 都成立
所以∑|P(z[k])|²= ∑P(z[k])*Q(z[k]')，k=1~N
= ∑ (∑a[i]*z[k]^i)*(∑b[j]*z[k]^(-j))，0≤i, j≤n，k=1~N
= ∑ (∑a[i]*b[j]*z[k]^(i-j))，先对(i, j)求和再对k=1~N求和
= ∑a[i]*b[j]* (∑z[k]^(i-j))，先对k=1~N求和再对(i, j)求和
当i-j是N的整数倍时，∑z[k]^(i-j)=N，i-j不被N整除时，∑z[k]^(i-j)=0
由于|i-j|≤n<N，所以当i≠j时∑z[k]^(i-j)=0，i=j时∑z[k]^(i-j)=N
则∑a[i]*b[j]* (∑z[k]^(i-j)) = ∑(a[i]*b[i]*N) = ∑(|a[i]|²*N) = N*∑|a[i]|²
也就是当N＞n时，∑|P(z[k])|²=N*∑|a[i]|²