推广:圆 (I) 如图内切于 AB、AC 、圆 (BJC) 与 圆 (BDC),切点分别为 F、E、J、D. 点 M 为 BC 的中点,设 BE 与 CF 交于 G,DJ 与 EF 交于 P,则点 P、G、M 共线.
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证明:设圆 (I) 与圆 (BJC) 的公切线交圆 (I) 与圆 (BDC) 的公切线于 N,由蒙日定理知 N 在 BC 上. 设 EF 与 BC 交于 L,AG 与 BC 交于 K,由熟知结论 DL 过弧 BDC 的中点,可知 K、L 在以 N 为圆心的 D-Apollonius 圆上(事实上我们只需要 NK=NL 的结论). 设 AN 与 EF 交于 H,结合 HK, HL; HN, HG 调和线束可得 HG 平行于 BC.
由于点 P 在 A 与 N 关于圆 (I) 的极线上,故 AN 为点 P 关于圆 (I) 的极线,从而 AD, AJ; AP, AN 为调和线束. 因此,若设 AD、AJ 分别交 EF 于 T、S;再设 SG、TG、PG 分别交 BC 于 X、Y、M*,则 A[T, S; P, H]=G[Y, X; M*, ∞]=-1,故 M* 为 XY 的中点. 而由 7930 的 6L 可知 X、Y 分别为旁切圆切点与内切圆切点,因而 M* 也为 BC 的中点,即 M=M*=PG∩BC.