推广:如图,圆 (I) 内切于 AB、AC 与圆 (BJC),切点分别为 F、E、J. 点 X 为 A-旁切圆切点,设 BE 与 CF 交于 G,AJ 与 EF 交于 S,则点 X、G、S 共线.
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证明:首先,设 K 为弧 BJC 的中点,KJ 与 圆 (I) 交于另一点 Y,则由两次位似可得 A、Y、X 共线,继而 YJ、EF、BC 共点(我们熟知 KJ、EF、BC 共点),记所共点为 L.
![](http://tiebapic.baidu.com/forum/w%3D580/sign=849a27ae68dda3cc0be4b82831e83905/f23a121bb051f81949b4bd7b9cb44aed2e73e71c.jpg?tbpicau=2024-08-24-05_3985170a3058abd7563a66b1efa1fdef)
由于 AB,AC;AG,AL 为调和线束,可知 AG 为 L 关于圆 (I) 的极线. 于是由 Y、J、L 共线可得 AY,AJ;AG,AL 为调和线束,设 AG 与 XS 交于 G*,则 [AX,AS;AG*,AL]=[LX,LS;LG,LA]=-1,故 G* 在 LG 上,从而 G*=G,即证.
![](http://tiebapic.baidu.com/forum/w%3D580/sign=abf419599709b3deebbfe460fcbe6cd3/79d3e2166d224f4add1ecd224ff790529822d122.jpg?tbpicau=2024-08-24-05_dea24438cd065fb2be9c5a64d45479d1)