第一件事，你的标题允许了例如2^2^(1/2)这种东西（指数从右往左计算），而这玩意是超越数。
第二件事，如果只允许有理数次幂，你的标题那段话描述的是“可用根式表示的数”，而众所周知五次及以上的方程的解不一定能用根式表示。

有理数做四则运算还是有理数吧

不少五次以上的有理方程没有解析解，只能用积分之类的东西表示

不，依靠有限次有理数上的加减乘除+根号能表示的数是少于代数数的

不等价，少了很多。
可以证明，有非常多的代数数无法使用根式扩张获得

我记得有一个概念叫可表示数，和你的想法一样，之前我也想过这个问题，但是最后得到的结论就是这样划分数域貌似没有什么用处，因为这个划分方法非常主观，一个数可以是符合该定义也可以是不符合的，比如1/3，显然是“可表示”的，但如果写成幂级数形式那么则是“不可表示”的，类似的概念有“封闭表达”，也是比较主观的

首先,这样的数不一定是代数数,例如2^(✓2),这样的数因为底数是有理数而指数是无理数,属于超越数不是代数数
其次,代数数也不能都写成这种形式,因为五次以上代数方程的根可以没有根式解,也就是不能用有理数的四则运算和开正整数次方通过有限次解决