捞捞

捞捞

是用有理数的柯西列构造实数，你说的柯西列收敛是在实数里面讨论的。构造实数也不是只有用柯西列一种方式。

我发现我解释不来但我觉得楼主应该还不了解实数到底是个啥玩意儿，或许读读度量空间总有完备化空间的证明会有帮助，实数就是有理数按绝对值作度量完备化得到的

首先，实数的定义方法有很多，一种方式是Cauchy列定义实数（这也是不完备度量空间完备化的重要方法，在l-adic，泛函分析等领域中同样运用相同的方法）在这种意义下，实数就是一个有理数Cauchy列的等价类。

还有一种方法是构造Dedekind分割，实数是满足以下条件的有理数子集a：如果有理数y属于a，有理数x<y，那么x属于y，如果y不属于a，x>y，那么x不属于a。实数是这样的分割。

当然，实数的完备性的每一个等价定理都可以互推，换言之，如果有一个阿基米德有序域包含有理数且满足任意一条实数完备性定理，那他就是实数域。

而这样一个存在性可以通过如下构造证明，首先引理：有理数在实数中稠密，换言之对任意确定实数a，和ε>0，存在有理数q使得a-q的绝对值不超过ε（自己证明不难）
对任意实柯西列a_n，存在有理数列b_n使得a_n-b_n的绝对值不超过1/2^n，然后可以用定义验证b_n是柯西列（同样自证不难）这样a_n就收敛于b_n所表示的实数

你需要先将那几个实数完备性定理中的一个作为公理，这是实数定义的一部分

不矛盾的，柯西列定理实际上是实数公理的一部分，也就是一但一个集合自身为一个无界完备全序域，那么这个集合上的柯西列本身就一定收敛。而用柯西列构造实数是实数构造的一部分，相当于是反过来构造一个具体的集合，并且证明这个集合满足实数公理，也就是这个构造出来的集合是个无界完备全序域，也就说明了我们构造出的集合就是我们想要的实数

又想了一会，我的想法是这样的。
实际上，在我们用柯西序列“定义实数”的这个过程中。考虑柯西序列是否趋向一个值这个想法本身就自相矛盾，因为我们所定义的就是数，我们不能去思考需要定义的数“它本身是否被趋向”。
在我读的陶哲轩实分析第三版中，在确界定理之前有个章节是对实数的排序。我最开始只是以为这个章节是为了证明一些实数的性质，但实际上，对实数，对柯西序列的排序这个过程才是验证柯西序列是一种数的证明过程？
一个数应当能够比大小，能够计算，或者说对于能做到这些事情的概念，才能称作数？所以为了说明柯西序列是一个数，其实是一个验证其是否拥有数的性质的问题，而不是先入为主地去说什么是数，是不是数？

Cauchy Sequence只在完备空间里收敛。以及你要是不理解的话可以想象一个弹力球越弹越低，最后就会静止不动

如果你真的想深究数系的构建过程，建议先有公理集合论和抽象代数的基础。
比如只用集合(不使用皮亚诺公理，因为实际上公理集合论蕴涵了皮亚诺公理)怎么构造自然数，因为在公理集合论中，对象只有集合(包括数、关系、映射、运算都是用集合定义的)
1.构造自然数集:
集合中也有后继的概念——集合x的后继x'=x∪{x}
于是我们定义0:=∅，1:=0'，……
于是自然数就形成了〖具体参考公理集合论中的无穷公理和最小归纳集〗
此时构造出的自然数0,1,2,3都是集合，我们有这样神奇的事情——1⊂2，并且1∈2，当然1∉1。所以(N,⊂)天然构成全序集，⊂相当于≤，∈或⫋相当于＜。
然后还有自然数的运算，也就是N×N→N的映射，实际上定义方式很多，只要符合现有体系就行。
2.构造有理数集:
(整数集的构造比较简单，这里予以省略。事实上了解了有理数集的构造方式，很容易就能想出构造整数集的方式):
这里假设已有整数集Z和+,-,×运算
我们定义Z×Z*(注意右边的Z去掉了0)上的一个等价关系——(a,b)∽(c,d)⇔ad=bc(容易验证满足自反性、对称性、传递性)
显然(0,n)(n≠0)在一个等价类里，(5n,3n)(n≠0)在一个等价类里
于是定义Z×Z*对∽的商集(也就是等价类的集合)(Z×Z*)/∽=Q
【数系的扩充最重要的一点就是保持运算的性质】
所以我们还要重新定义一遍运算
这个定义方式其实很套路——
先定义Z×Z*上的运算
(a,b)+(c,d)=(ad+bc,cd)
(a,b)×(c,d)=(ac,bd)
然后定义Q中两个等价类的运算，就是各自取一个代表元出来进行运算，看运算结果在哪个等价类里(这要求我们定义的运算不依赖于代表元的选取)〖具体参考抽象代数中的同余关系〗
比如{(5n,3n)|n∈Z*}和{(7m,6m)|m∈Z*}是两个等价类，它们之间的加法不依赖于代表元的选取，因为(5n,3n)+(7m,6m)=(51mn,18mn)，它在{(17n,6n)|n∈Z*}这个等价类里
很容易验证Q中定义的运算满足Z中相应运算的所有性质。
至此有理数集构建完成，于是我们彻底撕下伪装，不再使用一堆有序对的等价类这样繁琐的概念，比如从此以后{(5n,3n)|n∈Z*}这个等价类我们就记成5/3
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事实上，数系的扩充、度量空间的完备化等，采用的都是类似的方法。
即原有一个集合V，我们先构造一个由V定义的过渡集合Vº(例如构造有理数时构造的Z×Z*)，然后构建Vº上的等价关系∽，令Vºº=Vº/∽(等价类的集合)，就得到了扩充的集合。
定义运算也是同样的方法，先定义Vº上的运算，使∽对这个运算构成「同余关系」，即运算不依赖于代表元的选取，从而得到Vºº上的运算。
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所以为什么要这样定义呢？
肯定会有这样两个定义有理数的想法:
①直接定义形如m/n(n≠0)的表达式是有理数②先定义整数的除法，然后发现运算结果不一定是整数，称它们都是有理数
为什么不采用①或②呢？好吧，字太多写不下了，留给楼主自己思考