金中都确实是成吉思汗拿下的（1215年蒙古军队攻克金中都），不过说蒙古打下宋朝半壁江山是个低级错误。

蒙古1211年开始攻打金朝，1215年攻克金中都，1225年占领金朝潼关以西、黄河以北地区，到1227年成吉思汗灭西夏去世之前，金朝就只剩下以开封为核心的河南一小块地方了，大半领土都已被蒙古攻占。