唯一分解整环里的不可约元都是素元
如果a=0，除b=±1以外bξ = b× ξ 都是可约元
±ξ =±(-1+√-7)/2 范数为2是素元
如果b=0，a为合数时可约
|a|为素数p且p≡1, 2, 4(mod 7)时总有N(u+vξ) = (u+vξ)(u+vξ ')= p，所以p是可约元
|a|为素数p≡3, 5, 6(mod 7)时是素元
a =7=(√-7)×(-√-7)是可约元，a=-7也是可约元

是对的(^.^)，不过D=-2有一点点问题，第一类应该按照|a|=0或|b|=0分类，|a|=0时只能|b|=1，|b|=1时|a|是形如8k+5, 8k+7的素数

二次域Q(√D)上全体代数整数形成的环Z[ ξ ]中，z为素元(代数素数)的必要条件是:
|N(z)|=p，p为素数，或|N(z)|=q²，q为素数，且Z[ ξ ]上不存在数ω使|N(ω)|=q
证明:
Z[ξ ]中数的范数一定是整数，用z'表示z的共轭数
假设|N(z)|含有至少2个不同素因子，则一定存在大于1的两个互素正整数a, b使N(z)=ab或N(z)=-ab，假设z为素元，则z×z'=ab或-ab，z|ab或-ab，按素元定义一定有z|a或z|b至少一个成立，不妨设z | a (存在Z[ ξ ]上的数ψ，使z×ψ =a)，则|N(z)| 整除a² (自然数之间的整除，因为N(z)N(ψ)=N(a)=a²)，即ab|a²，b|a，只可能b=1，矛盾
若|N(z)|=pⁿ，p为素数，则z×z'=pⁿ或-pⁿ，若z为素元，一定有z|p，则|N(z)|整除p²，即pⁿ|p²，只可能n≤2
若|N(z)|=p²，p为素数，且存在ω使N(ω)=p或-p，则z×z'=ω²×ω'²或-ω²×ω'²，若z为素元一定有z |ω 或z |ω'，则|N(z)|整除|N(ω)|，即p²|p，矛盾
|N(z)|=0时z为零元，|N(z)|=1时z为单位，一般不算作素元
综上所述，若z为素元，只可能|N(z)|=p，p为素数，或|N(z)|=q²，且不存在整环Z[ ξ ]中的数ω使|N(ω)|=q

以上条件又是z为不可约元的充分条件:
若|N(z)|=p，p为素数，则z一定是不可约元，
若|N(z)|=q²，q为素数，假设z=a×b，a, b不是单位，则|N(a)|和|N(b)|是大于1的正整数，由于q²=|N(z)|=|N(a)|×|N(b)|，所以只可能|N(a)|=|N(b)|=q
也就是说若不存在ω 使|N(ω)|=q，z一定不可约

楼主，我把回复重新单独发一楼了(^～^)
这个Z[ ξ ]/3 应该是指3的商环
在Z[ ξ ]中所有的数形如a+b*ξ , a, b为任意整数，其中所有形如3(a+b*ξ)的数简记作<3>，叫作3的主理想
而不能表示成3(a+b*ξ)的数，都可以表示成某一个数λ和某个3(a+b*ξ)的和，即λ + 3(a+b*ξ)，这样的数 λ 一共有8类
Z[ ξ ]中所有的不在3的主理想{ 3(a+b*ξ) }中的(代数)整数，都可以表示成1+3(a+b*ξ)，-1+3(a+b*ξ)，ξ+3(a+b*ξ)，1+ξ+3(a+b*ξ)，-1+ξ+3(a+b*ξ)，-ξ+3(a+b*ξ)，1-ξ+3(a+b*ξ)，-1-ξ+3(a+b*ξ) 这8种中的一种
再加上3的主理想本身 3(a+b*ξ)这一类数，Z[ ξ ]中的所有数都可以表示成{0, ±1, ±ξ , ±1±ξ} 中的一个数 λ 与某个3(a+b*ξ)的和
像这样{ 0, ±1, ±ξ ，±1±ξ }的集合叫作商环，这个集合是Z[ ξ ]对于3的主理想<3>的商环，可以记作Z[ ξ ]/<3>，就相当于楼主说的mod 3的完全剩余系

如果把主理想的概念抽象出来，理想就是指环的一类特殊子环，不仅自身对加法和乘法封闭，而且环上任何一个元素，与理想中元素的乘积，都属于理想中
而含有某个元素m的最小的理想，叫作m的主理想
对应就会产生一个商环，商环也构成环，类似于完全剩余系
在整数环Z中，除0以外每个数m的主理想就是m的所有倍数(包括0和负数)形成的环，而对应商环Z/<m>就是模m的一个完全剩余系