因为这题是要用正弦定理做的；余弦定理会很麻烦，并不是不能做.
对于一般的此类求最值（更准确地说，求极值）方法，推荐搜索：拉格朗日乘数法.
对于此题，不难得到b²+c²-bc=9，
注意到左边=(b+c)²·1/4+(b-c)²·3/4，
做换元：x=b+c，y=b-c，此时点(x,y)的轨迹为一椭圆（的一半）：x²/36+y²/12=1，
轻易可知x_max=6，从而(a+b+c)_max=9.
“正统”解法如下：
容易知道A=π/3，由a/sinA=b/sinB=c/sinC立即可得b+c=2√3(sinB+sinC)，而该三角形为锐角三角形，π/6<B,C<π/2且B+C=2π/3，代入求得最值即可.（可以算得最值取得当且仅当B=π/3，从而等边三角形时周长最大）

关键不是余弦定理，而是不等式，求范围不要优先考虑不等式，不等式有两个缺点，第一是一般只容易求出一个端点值（另外一个还得换法子，如果另外一个端点值很容易求出，比如是无穷大，那就方便些），另外一个缺点万一取不到等号，就没法用了。