顶一手

先证明对任何正整数n, r, m≥2，[n/m]+[(n+r)/m] ≤ [2n/m] + [ (2r-1)/m ] - [(r-1)/m]
因此由勒让德公式，对任何素数p， νp [(n+r)!] + νp [n!] = ∑([(n+r) /p^i ] + [n/p^i]) ≤ ∑([2n/m] + [(2r-1)/m] - [(r-1)/m]) = νp [(2n)!] + νp [(2r-1)!] - νp [(r-1)!]
所以 (n+r)! × n! 整除 (2n)! × (2r-1)! /(r-1)!，也就是 (n+1)(n+2)…(n+r) 整除 (2n)! /(n! × n!) × (2r-1)! /(r-1)! 恒成立
f(r) 一定是 (2r-1)! / (r-1)! = r(r+1)…(2r-1)的一个因数

具体情况是对任何正整数n, r, m≥2，[n/m] + [(n+r)/m] +[(r-1)/m]- [2n/m] - [ (2r-1)/m ] = 0或-1
只有以下3种情况式子等于0
⑴ {n/m} < 1/2 且 {r/m}≤1/2
⑵ {n/m} < 1/2 且 {n/m}+{r/m}≥1
⑶ {n/m} ≥ 1/2 且 {r/m} ≤ 1/2 而且 {n/m}+{r/m}≥1
对给定的r和素数p，只要找到n使得k取任意正整数时，在式子中取m=p^k 值都等于0，就可以确定f(r)= (2r-1)! /(r-1)!
可以取 n = p^t - r，其中p^t >r 是p的幂次，对任何k≤t-1，{n / p^k} + { r/ p^k } = 1，总符合⑵⑶中的一条
所以对任何素数p， νp [f(r)]必须等于 νp [r(r+1)…(2r-1)]，就能确定 f(r)= r(r+1)…(2r-1)

n=p^t-r 时应该是，对任何正整数k≤t，要么{n/p^k} = {r/p^k} =0，符合⑴，要么{n/p^k}+{r/p^k} = 1，符合⑵或者⑶
对k≥t+1，{n/p^k} < 1/p≤1/2，同理{r/p^k}<1/p ≤1/2，符合⑴