那么,把差分值与误差值作商,会得到什么呢?运算的结果是,它会越来越接近1/3,而且收敛速度非常快。
那么我们自然而然地可以想到一个微扰:把p0_(n+1)加上它与p0_n的差的1/3,是否可以提高数列的收敛速度?
依照这个想法,我们构建一个新的数列p1,它的通项是:
p1_n=p0_n+(p0_n - p0_(n-1))/3
这个定义会存在问题,因为不存在p0_0,导致p1_n没有定义。所以,修正定义为:
p1_n=p0_n+(p0_n - p0_(n-1))/3 if n>1
else: p1_n=p0_n。
我们可以对数列进行收敛速度的分析,图中的绿线就是p1的表现。可以看出,它的收敛速度比p0(也就是祖冲之的原始割圆术)快得多,是原本的2倍。这意味着p1_7的精度就已经达到了3.1415926,相较于p0_13可以少开一半次数的根号。这意味着只需要割到正216边形(p0_6)就够了,而不是至少正12288边形(p0_12)(实际割到了24576边形(p0_13))。