关于微分同胚的

manifold上的就是把euclidean空间里的拉到manifold上，没啥难度。euclidean空间里的建议直接记结论捏。

微分几何里的秩定理就是包装后的线性代数里的秩定理
线性代数里矩阵A的秩为r，那么存在可逆矩阵P,Q使得A=PΛQ，其中Λ左上是r阶单位阵、剩下的元素是0。假定A左上r×r部分是可逆的（任意的A总能够通过交换行/列变成这种形式），试着用分块矩阵给出一个构造性的证明，i.e.左右具体乘点啥能把A变成Λ
Euclidean空间里你把你的F:R^n→R^p写成R^r×R^(n-r)→R^r×R^(p-r)的映射，必要时交换坐标次序使得R^r×R^r部分满秩，反函数定理保证了这一部分存在局部逆，剩下的就是线性代数问题了——线性代数里你怎么把A分解成PΛQ，Euclidean空间里你就怎么做
流形上就更简单了，无非是用坐标卡把Euclidean空间上的情形拉过去罢了