不妨设a[8]=2, a[9]=1，式子加上2变成∑a[i]a[i+1]，i=1~9，其中a[10]=a[1]
式子取最小值的一个必要条件是，如果存在1≤i<j≤7且a[i]<a[j]，则a[i-1]>a[j+1]
如果存在1≤i<j≤7且a[i]>a[j]，则a[i-1]<a[j+1]
(当i=1时a[i-1]=a[9])
否则如果存在1≤i<j≤7，使a[i]<a[j]且a[i-1]<a[j+1]
只要把a[i]~a[j]倒序排列，其他不变，式子的值改变了
a[i]a[j+1]+a[j]a[i-1]-a[i]a[i-1]-a[j]a[j+1] = (a[i]-a[j])(a[j+1]-a[i-1])<0
得到更小的取值
同理也不会出现1≤i<j≤7，a[i]>a[j]且a[i-1]>a[j+1]
因此，由于a[0]=a[9]=1小于a[1]~a[8]的所有数，a[1]必须大于a[2]~a[7]的所有数，只能等于9
同样a[8]小于a[1]~a[7]的所有数，a[7]必须大于a[2]~a[6]的所有数，只能等于8
接下来由于a[1]大于a[2]~a[8]，所以a[2]小于a[3]~a[7]，只能等于3
a[7]大于a[2]~a[6]，所以a[6]小于a[3]~a[5]，只能等于4
依次可得
a[1]~a[7]= {9, 3, 7, 5, 6, 4, 8}
此时式子的值等于27+21+35+30+24+32+9+16=194

如果我没理解错的话，这应该是个整数规划问题，只是约束条件有些特别，拓展一下，本题也应该有个最大值268。