按理说从自然数的皮亚诺公理讲会更有利于人们理解近代的数学家是如何一步步建立严密的数学体系的。但学习并不是一直都要顺着由浅入深的路线走，有时直击最晦涩的层次反而会更高效。本系列贴旨在提供严格的定义和公理，特别是需要塑造一种直击本质的思维方式。这是针对各种月经问题的一剂猛药。所以我只会看心情补充一些东西的具体来历。此外，由于本人非数学专业，有错误和疏漏还请大佬修改补充。
首先，我们需要回顾中学中的集合。显然，无论是“全体苹果的集合”，还是“全体整数的集合”，它们都在通过一些性质去接纳满足这些性质的元素，并排除不满足这些性质的元素（哪怕只违背了其中的一个性质）。用数学语言描述，就是：对任意的性质P，都存在一个集合A，使得对任意的元素x，x∈A当且仅当P（x）为真（也就是x满足性质P，简记为P（x））。这个约定俗成的公理叫概括公理。然后，借助维恩图，我们可以直观地理解交集、并集等概念。由此，我们得到了朴素集合论。
然而，罗素发现了朴素集合论的bug。罗素悖论的内容是，根据概括公理，可以构造一个集合A=｛x｜x不属于x｝。那么，A是否属于A呢？显然这样就引发了悖论。于是，大家意识到，概括公理有问题。
接下来就正式介绍集合论公理（ZFC公理系统）。顺便一提，集合论唯一的对象是集合，也就是说，下文的任何元素本质上都是集合。
一些不言自明的词语：元素、集合、属于（∈）、并且（V）、或（∧）等。
一些基本定义：
不属于：与属于对立。
包含于：A包含于B，当且仅当：对任意元素x，x∈A→x∈B。注意，这个→不是如果那么的意思。以此为例，它的意思是，(x∈A ∧ x∈B) V (x不属于A)。
包含：B包含A，与A包含于B是含义相同。
子集：若A包含于B，则A是B的一个子集。
我自己的习惯用语：含有：x∈A与A含有x含义相同。
1、外延公理：如果两个集合含有的元素完全相同，则两个集合相同。
2、空集存在公理：存在集合∅，使得对任意的元素x（以下省略元素或集合一词），x不属于∅。
3、无序对公理：对任意x，y，存在集合z，使得x∈z并且y∈z。
4、并集公理：对任意x，存在y，使得对任意z，z∈y当且仅当存在w，使得z∈w且w∈x。
例如，对x=｛｛0，1｝，｛1，2｝｝，存在y=｛0，1，2｝，z可以取0，1，或2，w根据z的取值取｛0，1｝或｛1，2｝，具体情况具体分析。
5、分离公理，或称子集公理（概括公理的替代品）：对任意U和任意性质P，存在A，使得对任意x，x∈A当且仅当：x∈U ∧ P（x）。这样的A叫做U的子集。
6、幂集公理：对任意x，存在P（x）（这是一个集合，这个P的字体与性质P的字体不一样，奈何贴吧没有公式功能），使得对任意y，y∈P（x）当且仅当y包含于x。
7、无穷公理：存在x，使得(∅∈x) ∧ （对任意y，y∈x→y∩｛y｝∈x）。
集合论中将0定义成∅，1定义成｛∅｝，2=1∩｛1｝=｛∅，｛∅｝｝，依次类推……
8、正则公理：对任意非空集合x，至少存在一个x中含有的元素y，使得x∩y=∅。
最后的选择公理比较复杂，下次再讲。
课后习题：1、用纯粹的集合表示映射。
2、自主学习皮亚诺公理，并分析集合论是如何用无穷公理构造自然数集的。