形如a^b+b^a (a, b≥2)的素数都很少的，有的线上计算器网站，可以分解70位以内数字的素因子，百度一下就可以找到

oeis A073499 里面，n=1, 2以后下一个是n=80，80^81+81^80 是素数

n=1, 2, 80, 342, 848, 1194, 2658, 4790, 9376

既然有特例，就无法证明！
如1、2^3+3^2=17是素数
2、当n=3k+1，nⁿ⁺¹+(n+1)ⁿ=（3k+1）^（3k+2）+（3k+2）^（3k+1）
模3知：3/1+2^（3k+1）=1+（-1）^（3k+1）,因此只有n=3k+1为奇数，（3k+1）^（3k+2）+（3k+2）^（3k+1）>3，则（3k+1）^（3k+2）+（3k+2）^（3k+1）为合数！
3、当n=5k+1，nⁿ⁺¹+(n+1)ⁿ=（5k+1）^（5k+2）+（5k+2）^（5k+1）
模5知：1+2^（5k+1）=1+2^（k+1），当k+1=2a，a为奇数，（5k+1）^（5k+2）+（5k+2）^（5k+1）为合数，此时n=5k+1=5（2a-1）+1=10a-4

n∧（n+1）+（n+1）∧（n+2）+（n+2）∧（n+3 ）在n=几时结果是素数？

当n是正奇数时，n^(n+1)和(n+2)^(n+3)是奇数，(n+1)^(n+2)是偶数，相加和是大于2的偶数
当n是正偶数时，n^(n+1)+(n+1)^(n+2)+(n+2)^(n+3)≡(-1)^(n+1)+0^(n+2)+1^(n+3)≡-1+0+1≡0(mod n+1)，是n+1的倍数并且大于n+1
所以n是正整数时 n^(n+1)+(n+1)^(n+2)+(n+2)^(n+3)始终是合数

当n≤-2时不是整数，n=0时值为9是合数，只有n=-1时等于2是素数