数学基础只有高数的话建议看赵峥的

学习广相需要的数学基础，张量分析
https://tieba.baidu.com/p/8883977590?pid=149717199130&cid=0#149717199130
https://tieba.baidu.com/p/8888425879?pid=149738715589&cid=0#149738715589
https://tieba.baidu.com/p/8893351611?pid=149763007933&cid=0#149763007933
https://tieba.baidu.com/p/8914022821?pn=1
https://tieba.baidu.com/p/8962015394?pid=150039202987&cid=0#150039202987
这个张量分析的合集是网上最好的教程了，讲解的非常细致，基本都是先从直观的几何图像开始介绍概念，然后再给出定理和性质的证明，但是没有中文翻译，只能看机翻，唯一的缺点是整个教程中都没有讲解什么时候该用上标什么时候该用下标。

第一课是介绍狭相的，说的很浅，基本只是科普一下，第一课就不发上来了。

谈一下此贴的更新策略吧，我不打算认真更新此贴了。之前张量分析那里更新的那么累，主要还是因为机翻很混乱，因为视频字幕的每一句话都未必是连在一起的，如果我直接照着机翻抄，以后我自己也看不懂，所以更新的特别累，要理解机翻，还要截图，完事之后发帖也很麻烦。此贴的更新方式如下，把视频的英文字幕下载下来，然后用word文档处理一下空行问题，再拿去给翻译软件翻译一下，最后按照视频的节奏重新分段落，不打算截图了，直接把文字发上来，说实话，我这样更新，你们还不如直接去油管上看呢。

【相对论数学的关键】
相对论背后有两个关键的数学思想，分别是不变性、协变和逆变。
粗略的说，不变性是指同一对象从不同的角度可以用不同的方式描述；协变和逆变是指当一种事物增长时另一种事物缩小，相反的变化会平衡。为了使这些概念更加具体，我们需要讨论向量，向量基本上就像箭头，向量有长度和方向，向量可以表示物理学中的各种事物，例如位置、动量和速度，出于这个原因，我们将在相对论中一直使用它们。
先来讨论向量的不变性，从不同的角度以不同的方式描述同一向量。如何使用向量来描述二维平面中点之间的间隔？例如，如果我们有一张桌子，上面放着一支铅笔，我们可以用两个基向量ex和ey来描述铅笔末端和笔尖之间的距离，你可能见到过这些基向量的其他名字，例如x帽y帽或i帽j帽，但它们的名字并不重要。基向量为我们提供了二维平面的坐标系，我们可以使用不同的基向量组来描述铅笔，现在这里有一个非常重要的想法，我们可以用不同的数字以两种不同的方式来描述铅笔间隔。
用基向量ex和ey来表示铅笔并得到分量(4,3)，或者使用基向量ex波浪和ey波浪来表示铅笔并得到分量(5,0)。铅笔是一个物理对象，它不会改变，但如果我们选择不同的坐标系（不同的基向量）来测量铅笔，它可以有不同的分量。这就是不变性背后的主要思想，铅笔是不变的，但铅笔的分量可以根据我们测量它的方式而改变。
在第一课中举了一个例子，静止的μ子的平均寿命为2微妙，但同样的μ子，如果它相对于地球运动速度接近光速，地球上的观者观察到μ子在衰变前会存活大约20微妙，因为时间膨胀，这听上去很疯狂，但如果我们使用向量和不变性的概念，就不难解释。
如果我们观察μ子的产生及其随后在时空中的衰变，则可以使用向量来测量这两个时空点之间的间隔。
例如在这个坐标系中（红色），可以测得衰变时刻为2微妙；但在另一个坐标系中（蓝色），可以测得衰变时刻为20微妙。狭义相对论中的时间膨胀，实际上只是使用不同的基向量（坐标系）测量时空点的结果。这几乎与使用不同的基向量测量铅笔并得到不同的分量完全一样，铅笔和μ子衰变之间的唯一区别是，对于铅笔的例子，向量存在于二维空间中，但衰变的μ子是在时空中测量的。时空向量的概念现在看上去可能很不自然，之后还会再详细解释这一点。
在此系列的后面将讨论张量，张量只是不变对象的另一种说法，大家都同意物理对象是不变的，但如果我们使用不同的坐标系测量它，它可以具有不同的分量。
张量可以写为数组，例如，我们可以使用向量乘法将4ex+3ey写成向量相乘的形式，把基向量放在行向量中，分量放在列向量中。
继续讨论协变和逆变，这两个概念总是一起出现。许多物理课都非常重视向量分量，你可能会看到分量以有序对的形式编写或写成列向量，但重要的是要记住，向量分量只是一方面，我们还需要注意基向量，它们是用来获取向量分量的尺。基向量和向量分量就像同一枚硬币的两面，我们永远不可能只处理其中一个而不处理另一个，将基向量和向量分量放在一起考虑非常重要，因为当我们更改坐标系时，我们会看到基向量和向量分量都发生变化，而且它们以相反的方式变化。
有一个放在桌子上的铅笔，如果使用基向量ex和ey来测量它，我们发现铅笔等于一个ex加一个ey，铅笔分量是1和1；换一组基向量，基向量ex波浪和ey波浪分别是基向量ex和ey的两倍，这意味着要测量铅笔，需要1/2ex波浪和1/2ey波浪，分量现在是1/2和1/2。这里的思想是，通过乘以2使基向量变大两倍时，铅笔向量分量通过乘以1/2缩小一半，铅笔等于这两个矢量表达式，但为了保持平等，矢量必须增长，矢量分量必须缩小。
让我们再看看这个想法，取e_x和e_y基向量，这次把它们变小两倍，新的基向量是上面有微笑形状的e_x和上面有微笑的e_y。现在，为了构建铅笔，我们需要两个“e_x微笑”和两个“e_y微笑”，这一次，基向量缩小了一半，矢量分量需要加倍才能平衡和保持平等。所以你可以看到，当一个东西增长（向量分量）时，另一个东西必须收缩（基向量），以保持平衡。
所以我们看到基向量和向量分量的行为方式相反。当基向量增长时，组件收缩，当基向量收缩时，组件增长。因此，我们将基向量称为“协变”，将向量分量称为“逆变”。向量分量做的事情与基向量做的事情“相反”。这就是为什么它们被称为“逆变量”。
所以，让我们仔细看看发生了什么。使用原始基e_x和e_y，以及两倍长的基：e_x波浪号和e_y波浪号。让我们从表达式1e_x开始。在这个表达式的中间乘以数字1是非常好的，因为乘以数字1不会改变任何事情。现在，让我们取中间的数字1，并将其拆分为“1/2乘以2”。数字1/2和2是相反的，相乘得到数字1。所以我们没有改变任何事情。现在让我们将这些分量乘以1/2
将基向量乘以2。当然，将e_x基向量的长度加倍，就得到了e_x波浪基向量。我们看到这等于1/2e_x波浪号。这里我们可以明确地看到，基向量乘以2，向量分量乘以1/2。但由于增长和收缩的平衡，1 e_x仍然等于1/2 e_x波浪号。
如果我们写出铅笔矢量的完整表达式，我们可以再次这样做。我们可以在x和y的向量分量和基向量之间插入数字1，然后我们可以将数字1拆分为1/2乘以2。我们发现分量收缩到一半大，基向量增长到两倍长。由于波浪形基是原始基的两倍长，我们可以将“2e_x”写成“e_x波浪形”，并将“2 e_y”重写为“e_y波浪形”。
铅笔等于这两个表达式，因为只要缩小分量，我们就可以自由地增长基向量。
让我们最好一次使用数组表示法来讨论这个问题。我们可以将铅笔矢量表达式1e_x+1e_y写成数组乘法，其中基矢量的行乘以矢量分量的列。我们可以使用乘法规则返回原始表达式：“第一个条目乘以第一个条目，加上第二个条目乘以第二个条目”。现在，如果你知道线性代数，你知道我们总是可以乘以单位矩阵，对角线上有1，其他地方有0，而不改变任何东西。单位矩阵有点像数字1，因为乘以单位不会改变任何东西。接下来，我们可以将单位矩阵分为两部分：沿对角线具有2的矩阵和沿对角线具有1/2的矩阵。这些矩阵是“对角矩阵”或“逆矩阵”，它们相乘后得到单位矩阵。所以我们没有改变任何事情。现在，这个数组与基向量的乘积最终只会将基向量乘以2。所以我们可以将这一行重写为e_x波浪号，e_y波浪号。而这个数组乘法只是将这些分量乘以1/2。所以我们可以将其重写为列（1/2，1/2）。如果我们使用“第一个条目乘以第一个条目加上第二个条目乘以第二个条目的”来乘以这些数组，我们得到1/2个e_x波浪号+1/2个e_y波浪号。因此，我们可以再次看到，增加基向量和缩小分量是平衡的。
铅笔可以等于这两个表达式中的任意一个。
现在，到目前为止，我已经给出了缩放基向量和分量的具体例子：使它们变大或变小。为了做到这一点，我使用了基矩阵的变化来缩放基向量，以及分量矩阵的变化，来缩放向量分量。只要一个的增长和另一个的缩小达到平衡，我们最终不会改变矢量。但是协变和逆变的思想不仅仅适用于缩放；它可以应用于任何类型的变换。例如，如果我们在一个方向上旋转基，分量将在另一个方向上旋转相同的量。同样，如果我们以一种方式剪切基底，则分量将以完全相反的方式剪切。通常，左边的基矩阵的变化和右边的分量矩阵的变化总是互逆的。把它们相乘将得到单位矩阵，这再次确保结果向量不会改变。
在本系列视频的后面，我们将看到，伽利略相对论实际上只是使用“伽利略矩阵”来改变时间和空间坐标，如图所示，其中基向量的“Galilen矩阵”与向量分量的“Galilian矩阵”相反。
之后，我们将看到狭义相对论实际上只是使用“洛伦兹矩阵”来改变时间和空间坐标。同样，以一种方式改变基向量，以完全相反的方式改变时间和空间分量。我们将看到，使用这个“洛伦兹矩阵”可以解释时间膨胀，长度收缩，以及爱因斯坦预测的所有其他奇怪的事情。当一些东西像基向量一样变换时，使用基变化矩阵，我们说它是“协变的”。我们通常会把协变的东西写成行。当某些东西以相反的方式变换时，使用分量变化矩阵，我们称之为“逆变”。我们将把逆变的东西写成列。
所以最初我们说协变和逆变都是关于一个东西增长另一个东西收缩，相反的变化会平衡。更具体地说：当我们以一种方式改变基向量时，向量的分量将以完全相反的方式改变。这些相反的变化将在保持向量不变的情况下平衡。

第三课是讲伽利略变换的，不是广相就不发了。
第四课是讲洛伦兹变换的，不是广相就不发了。
去掉讲伽利略变换和洛伦兹变换的课，这个合集还有16个小时。

算了，此贴不更新了。

加油啊，感觉张量学习困难的话，可以看看黄克智的张量分析前边两三章