{圆}

弧度数：θ，角度值：n，弧长：l，扇形面积：S
θ/Π=n/180°，θ=2Π*n/360°=l/圆周长*2Π=l/(2Πr)*2Π=l/r
θ=l/r，l=θr
圆面积=Πr^2=(2Πr)*r/2
S=l/2lr=1/2θr^2
θ=2S/r^2
r=1，θ=2S
{双曲线}

用三角函数表示双曲线上的点的坐标，定义双曲函数的写法是sinh(φ)与cosh(φ)。
对于双曲线，先给出面积，然后导出横纵坐标。S=φ/2。
第一种推导

记得三角恒等式吗？

面积S1用积分来求，在纵坐标上取微分dy，乘上x，x和y随着θ变化。
对于面积S1，用换元法（凑微分）得到一个结果，再用分部积分得到另一个结果，分别得到两个不同的结果，把两个结果联系起来。
面积S2就是个三角形


底数真数=对数，底数对数=真数

第二种推导

同样的，S1用积分求，在纵坐标上取微分；S2是三角形

实角三角函数和虚角三角函数的关系

y→iy即可

复数，可以从单位圆以及欧拉公式的概念入手学习

【旋转变换】
{普通版本}



可以通过改变角度，使θ变为-θ，反转变换矩阵

{双曲函数版本}





双曲旋转只会导致盒子四角沿着双曲线移动，这意味着双曲旋转保持双曲线的不变性（时空间隔不变），就像圆形旋转一样，保持圆的半径不变。

可以通过改变角度，使φ变为-φ，反转变换矩阵
两种变换的行列式都是1，行列式的本质是面积，这说明旋转变换不会改变盒子的面积。新基向量用双曲函数和旧基向量来线性表示。

{洛伦兹变换和双曲变换是一回事}
双曲线满足下面这个方程

那么道理很简单


如果成立
就能说明洛伦兹变换和双曲变换是一回事

分量γ代表的是cosh(φ)，而另一个分量代表的是sinh(φ)

双曲线实质是虚空间的距离公式

实空间距离R^2=x^2+y^2。虚空间距离R=x^2+（iy）^2。i=根号-1