问题来源于之前多光子占据同一个模式的帖子（其实并不是什么问题，而是我对思路的一个梳理）
一、先来看为什么费米子无法占据同一模式
为了使全同粒子交换后概率幅不变，故必有交换对称或者交换反对称，前者对应玻色子后者对应费米子。
交换反对称：{b†(x1),b†(x2)}=b†(x1)b†(x2)+b†(x2)b†(x1)=0
当生成了2个同处于∫ψ(x1)b†(x1)dx1状态下的费米子时，整体的波函数为：
(∫ψ(x1)b†(x1)dx1)(∫ψ(x2)b†(x2)dx2)
=∫∫dx1dx2(ψ(x1)ψ(x2)b†(x1)b†(x2))
=∫∫(x1>x2)dx1dx2(ψ(x1)ψ(x2)(b†(x1)b†(x2)+b†(x2)b†(x1)))=0
这个结果其实是显然的，因为如果定义B†=∫dx1*ψ(x1)b†(x1)，B†同样是该费米子的生成算符，有{B,B}=2B^2=0.
二、当有2个费米子b†，c†组合成一个复合粒子，比如氢原子，由于这两个粒子始终绑定在一起，原子核出现在哪核外电子就出现在哪，因此两者的位置处于纠缠的状态，氢原子的波函数即为∫ψ(x1)b†(x1)c†(x1)dx1。
当生成了2个氢原子时，整体的波函数为：
(∫ψ(x1)b†(x1)c†(x1)dx1)(∫ψ(x2)b†(x2)c†(x2)dx2)
=∫∫dx1dx2(ψ(x1)ψ(x2)b†(x1)b†(x2)c†(x1)c†(x2))
=∫∫(x1>x2)dx1dx2(ψ(x1)ψ(x2)(b†(x1)c†(x1)b†(x2)c†(x2)+b†(x2)c†(x2)b†(x1)c†(x1)))
=∫∫(x1>x2)dx1dx2*ψ(x1)ψ(x2)*2b†(x1)c†(x1)b†(x2)c†(x2)
可见整体波函数并不会相消，由于b†(x1)c†(x1)b†(x2)c†(x2)+b†(x2)c†(x2)b†(x1)c†(x1)中交换了2个反对称算符，整体表现等同于交换对称的玻色子，可令A†|n,n>=√(n+1)|n+1,n+1>∝b†c†，可为氢原子的生成算符，满足交换对称性。
三、如果进一步对2中刨根问底：“单看氢原子中的电子，2个电子是不是占据了同一态？”
这点其实就是我发这一贴的动机，稍微困扰了我一下但很快就相通了，对于
∫ψ(x1)b†(x1)c†(x1)dx1这样的纠缠态，忽略掉两者之一也就是求迹操作，剩下的一方即处在混合态中而非某一特定的量子态（纯态），自然也不存在2个电子占据同一状态的说法。密度算子只能在x1==x2处相消，相当于在R^2处扣掉了一条对角线。
四、适用范围。
上述过程的背景是所有粒子在同一个H0下运动，粒子与粒子之间无相互作用。对于有相互作用的实际情况，应当比较<H相互作用>与<H0>，如前者远小于后者这可将前者视为微扰，在上述基本图像上做小修正。而<H相互作用>正比于N^2，而H0只正比于N，因此当粒子数密度较大时该近似失效。
五、关于费米/玻色和自旋。
以下说法等价：
1.粒子是费米子/玻色子
2.粒子交换反对称/对称（遵循费米-狄拉克统计/玻色-爱因斯坦统计）
3.粒子总自旋为半整数/整数（角动量耦合法则：L1⊕L2->|L1-L2|,...,L1+L2）
4.该复合粒子包含了奇数个/偶数个费米子。
对于3（自旋统计定理），其实我了解的不是很完整，只知道对自旋0，1的场（标量场、电磁场）用对易关系、对自旋1/2的场（狄拉克）用反对易关系可以完成正则量子化，而反过来则不能，会导致负能态（甚至负模态）、破坏因果等严重错误（[Peskin] An Introduction to Quantum Field Theory）。虽然知道这就只是一种尝试（猜解），但是只有盖然没有必然的推导让我有点难受。日后有空也许会去调研一下有没有必然性的证明补在这里。
一、先来看为什么费米子无法占据同一模式
为了使全同粒子交换后概率幅不变，故必有交换对称或者交换反对称，前者对应玻色子后者对应费米子。
交换反对称：{b†(x1),b†(x2)}=b†(x1)b†(x2)+b†(x2)b†(x1)=0
当生成了2个同处于∫ψ(x1)b†(x1)dx1状态下的费米子时，整体的波函数为：
(∫ψ(x1)b†(x1)dx1)(∫ψ(x2)b†(x2)dx2)
=∫∫dx1dx2(ψ(x1)ψ(x2)b†(x1)b†(x2))
=∫∫(x1>x2)dx1dx2(ψ(x1)ψ(x2)(b†(x1)b†(x2)+b†(x2)b†(x1)))=0
这个结果其实是显然的，因为如果定义B†=∫dx1*ψ(x1)b†(x1)，B†同样是该费米子的生成算符，有{B,B}=2B^2=0.
二、当有2个费米子b†，c†组合成一个复合粒子，比如氢原子，由于这两个粒子始终绑定在一起，原子核出现在哪核外电子就出现在哪，因此两者的位置处于纠缠的状态，氢原子的波函数即为∫ψ(x1)b†(x1)c†(x1)dx1。
当生成了2个氢原子时，整体的波函数为：
(∫ψ(x1)b†(x1)c†(x1)dx1)(∫ψ(x2)b†(x2)c†(x2)dx2)
=∫∫dx1dx2(ψ(x1)ψ(x2)b†(x1)b†(x2)c†(x1)c†(x2))
=∫∫(x1>x2)dx1dx2(ψ(x1)ψ(x2)(b†(x1)c†(x1)b†(x2)c†(x2)+b†(x2)c†(x2)b†(x1)c†(x1)))
=∫∫(x1>x2)dx1dx2*ψ(x1)ψ(x2)*2b†(x1)c†(x1)b†(x2)c†(x2)
可见整体波函数并不会相消，由于b†(x1)c†(x1)b†(x2)c†(x2)+b†(x2)c†(x2)b†(x1)c†(x1)中交换了2个反对称算符，整体表现等同于交换对称的玻色子，可令A†|n,n>=√(n+1)|n+1,n+1>∝b†c†，可为氢原子的生成算符，满足交换对称性。
三、如果进一步对2中刨根问底：“单看氢原子中的电子，2个电子是不是占据了同一态？”
这点其实就是我发这一贴的动机，稍微困扰了我一下但很快就相通了，对于
∫ψ(x1)b†(x1)c†(x1)dx1这样的纠缠态，忽略掉两者之一也就是求迹操作，剩下的一方即处在混合态中而非某一特定的量子态（纯态），自然也不存在2个电子占据同一状态的说法。密度算子只能在x1==x2处相消，相当于在R^2处扣掉了一条对角线。
四、适用范围。
上述过程的背景是所有粒子在同一个H0下运动，粒子与粒子之间无相互作用。对于有相互作用的实际情况，应当比较<H相互作用>与<H0>，如前者远小于后者这可将前者视为微扰，在上述基本图像上做小修正。而<H相互作用>正比于N^2，而H0只正比于N，因此当粒子数密度较大时该近似失效。
五、关于费米/玻色和自旋。
以下说法等价：
1.粒子是费米子/玻色子
2.粒子交换反对称/对称（遵循费米-狄拉克统计/玻色-爱因斯坦统计）
3.粒子总自旋为半整数/整数（角动量耦合法则：L1⊕L2->|L1-L2|,...,L1+L2）
4.该复合粒子包含了奇数个/偶数个费米子。
对于3（自旋统计定理），其实我了解的不是很完整，只知道对自旋0，1的场（标量场、电磁场）用对易关系、对自旋1/2的场（狄拉克）用反对易关系可以完成正则量子化，而反过来则不能，会导致负能态（甚至负模态）、破坏因果等严重错误（[Peskin] An Introduction to Quantum Field Theory）。虽然知道这就只是一种尝试（猜解），但是只有盖然没有必然的推导让我有点难受。日后有空也许会去调研一下有没有必然性的证明补在这里。
