一、洛伦兹变换
先设群元为Λ
A B
C D
先右作用(ct,0)，得到B=AV/c
再左作用(ct,0)ᵀ，得到C=AV/c
光速不变(ct,ct)，A+B=C+D，得到A=D
保度规，行列式=1，A²-A²(V/c)²=1，得到A=1/√[1-(V/c)²]
令A=1/√(1-V²/c²)=γ，β=V/c
即
γ γβ
γβ γ
最开始接触到的肯定是这个
t’=γ(t-vx/c²)
x'=γ(x-vt)
y’=y
z’=z
但这个式子缺乏美感，我是从来不记的。
我们省略y和z两个维度。再整理一下。
ct’=γ[ct-(v/c)x]
x'=γ(-v/c•ct+x)
再写成矩阵形式(排版有点麻烦，讲究看吧）
[ct' = [γ，-γv/c • [ct
x'] -γv/c，γ] x]
这样我们得到了一个看起来很工整的变换矩阵
γ，-γv/c
-γv/c，γ
用β表示v/c
γ， -γβ
-γβ，γ
逆变矩阵
γ， γβ
γβ，γ
这玩意很方便啊，你一个四速丢进去，轻轻松松得到换系后的四速和三速。
(γ₂,γ₂β₂/γ₂β₂,γ₂)x(γ₁c,γ₁v)ᵀ=(γ₂γ₁c+γ₂γ₁β₂v, γ₂γ₁β₂c+γ₂γ₁v)ᵀ，
然后你在用四速中空间分量/时间分量，再乘c，就得到三速，c(γ₂γ₁β₂c+γ₂γ₁v)/(γ₂γ₁c+γ₂γ₁β₂v)=(v₂+v)/(1+v₂v/c²)这个是不是相对论速度叠加公式。
甚至于你还可以一般形式的洛伦兹变换矩阵来计算一般方向的速度换系
[γ,-Vx/cγ,-Vy/cγ,-z/cγ
-Vx/cγ,1+(γ-1)VxVx/v²,(γ-1)VxVy/v²,(γ-1)VxVz/v²
-Vy/cγ,(γ-1)VxVy/v²,1+(γ-1)VyVy/v²,(γ-1)VyVz/v²
-Vz/cγ,(γ-1)VxVz/v²,(γ-1)VyVz/v²,1+(γ-1)VzVz/v²]
这个矩阵它有什么性质呢？
γ²-γ²β²=1 行列式=1
这是不是和双曲函数的性质一样
cosh²ω-sinh²ω=1
这样我们又可以得到
coshω，-sinhω
-sinhω，coshω
还是写逆变吧，我更喜欢，其实都一样，sinh是奇函数-sinh-ω=sinhω
coshω，sinhω
sinhω，coshω
ω在数学上叫做双曲角，在物理上叫做快度。那么ω到底是什么呢？
为了研究双曲函数，我们先研究圆函数，取一个单位圆，我们知道一个圆心角引出一条射线与x轴和x²+y²=1围成的扇形面积S=θ/2，θ=2S即角度定义为围成的面积的两倍。
拓展到双曲函数，ω=2S，双曲角即原点引出一条射线与与x轴和x²-y²=1围成图形面积的两倍。（不画图，自己百度一个图哈）
我们看到tanhω=β=v/c
我们把变换矩阵写作函数形式R(ω)，可以看到它连续变换满足R(ω)•R(ψ)=R(ω+ψ)。因为e^ωJ•e^ψJ=e^(ω+ψ)J，e^ωJ=coshωI+sinhωJ（I和J分别是单位阵和洛伦兹生成元）
coshω，sinhω
sinhω，coshω
X
coshψ， sinhψ
sinhψ，coshψ
=
cosh(ω+ψ)，sinh(ω+ψ)
sinh(ω+ψ)，cosh(ω+ψ)

二、四维矢量
最简单的肯定是四维坐标矢量，简称为四坐标（ct，x，y，z）
根据速度的定义，四坐标对固有时的切矢得到四速（dct/dτ，dx/dτ，dy/dτ，dz/dτ)
=（γc，γVx，γVy，γVz)
我们计算四速的模方（这里用号差-2的度规），(γc)²-(γVx)²-(γVy)²-(γVz)²=c²
根据动量定义得到四动量（γmc，γmVx，γmVy，γmVz)=（E/c，Px，Py，Pz）
再次求模方，得到能量动量关系式(E/c)²-P²=mc²
根据加速度定义得到四加速（dγc/dτ，dγVx/dτ，dγVy/dτ，dγVz/dτ）=（γ⁴v/c•a，γ⁴ax，γ⁴ay，γ⁴az），（a是三加速dV/dt）求模方（哈哈，这次用号差+2度规，计算方便），-(γ⁴v/c•a)²+(γ⁴a)²=(γ³a)²
我们令A=|γ³a|，称A为四加速的绝对值。
计算四速和四加速的内积V₀dV₀/dτ-V₁dV₁/dτ=(1/2)d(V₀²-V₁²)/dτ=0.5d(c²)/dτ=0，可知四加速正交于四速。
根据力的定义得到四维力（d(E/c)/dτ，d(Px)/dτ，d(Py)/dτ，d(Pz)/dτ）=(γf•V，γfx，γfy，γfz），（时间分量f·V是功率，f是三维力dP/dt），可以看到f=γ³ma。
电磁四维势(φ/c,A¹,A²,A³)，对于真空中的静电荷它等于（Q/4cπε₀r，0，0，0）。

三、匀四加速运动
在第二节，我们计算出四加速有A²=(A¹)²-(A⁰)²
即(d²x/dτ²)²-(cd²t/dτ²)²=A²①
我们令A=常数，即匀四加速，
然后有四速v²=(v⁰)²-(v¹)²
即(cdt/dτ)²-(dx/dτ)²=c²②
根据双曲线性质令
dt/dτ=coshη，(1/c)•dx/dτ=sinhη
带入四加速方程①
d²x/dτ²=c[d(sinhη)/dη]dη/dτ
=c(coshη)dη/dτ
cd²t/dτ²=[d(coshη)/dη]dη/dτ
=c(sinhη)dη/dτ
则①式=(dη/dτ)²=A²/c²
取右半支dη/dτ=A/c
积分得到η=A/c•τ+const
由上面得到微分方程
dt=cosh(A/c•τ)dτ
dx=c•sinh(A/c•τ)dτ
积分得到
ct=(c²/A)sinh(A/c•τ)
x=(c²/A)cosh(A/c•τ)

四、如何理解时空图？
以本时空图为例，纵坐标为时间ct，横坐标为空间x。
红色纵轴和黑色横轴构成了相对红色物体静止的坐标系。红色在x=0位置静止，蓝色在x=1位置静止，绿色朝x正方向匀速运动，黄色是光，紫色朝x正方向以匀四加速运动。
绿色为纵轴和橙色横轴构成了相对绿色物体静止的坐标系。绿色在x=0处静止，红色和蓝色朝x负方向匀速运动，黄色还是光，紫色还是朝x正方向以匀四加速运动。
当然你也可以以紫线为纵轴，以紫线上的同时线为横轴，构成相对紫色物体静止的坐标系。（详见第三节）
也就是说，一个物体的世界线就是它本身的固有时间线，这个长度就是它的固有时长度。且时间轴和空间轴永远是正交的，即OA正交与OD。且与时间轴平行的线都是空间等距线，与空间轴平行的线都是等时线。
如果把世界线看作一维流形，世界线上任意一点的切向量，就是这一点的四维速度，这是由四维速度的定义决定的，即图中的AB，CD，EF。（注意这个切向量长度并不是图中的长度，只是表示了一个方向，你可以看作一个无穷小的矢量头上顶着个数字，这个数字就是矢量的长）。这条世界线上所有点的切矢量就构成了这条流形的切向量场，数学上叫做切丛。
并且它同构于世界线。
也就是说，世界线也可以用来表示速度矢量。
对于加速运动的世界线，在每一点都可以分出两个参考系，一个是沿切向量的瞬时静止惯性系（蓝色），另一个本身的加速系（紫色），两个系在这一点是相对静止的。也就是在这一点的固有时dτ相等，固有长度dL也相等。但是这段dL在绿色系下长度为dL‘=dL/γ，所以从绿色系的dL’到蓝色系就要变成dL=γdL’。对于加速世界线的每一个点都有一个绿色系相对于这个点的蓝色系速度相同。所以把每一段dL积分得到L=γL‘，所以爱因斯坦转盘周长要变为γL’。
但是对于圆心来说，它相对于加速世界线上每一点分出来的顺时静止惯性系也静止（把所有速度矢量平移到圆心，），所以圆心的固有时总是和圆周相同。

五、作用量和力学
根据最小作用量原理构造自由质点的作用量函数S=-mc∫ds=∫(-mc²/γ)dt（s=√[(ct)²-(vt)²]）
则拉氏量L=-mc²/γ，
广义动量P=∂L/∂V=γmV
代入欧拉拉格朗日方程d(∂L/∂V)/dt=∂L/∂q
→γ³mdV/dt=f得到了第二节的三维力
哈密顿量由H=P•V-L=γmc²得到，
根据定义哈密顿量是系统的总能量，令γ=1得到粒子静能mc²，则粒子的相对论动能Ek=γmc²-mc²

六、电动力学
电磁四维势A=(φ/c,A¹,A²,A³)
自由粒子项-mcds和相互作用项-qAdχ，写下作用量
S=∫-(mc²/γ)dt-qAdχ
=∫-(mc²/γ)dt+q(-φdt+A¹dx+A²dy+A³dz)
=∫-(mc²/γ)dt+q(-φdt+A¹Vxdt+A²Vydt+A³Vzdt)
=∫-(mc²/γ)dt+q(-φ+A•V)dt①
拉氏量L=-(mc²/γ)+q(-φ+Α•V)②
带入E-L方程d(∂L/∂V)/dt-∂L/∂r=0③
广义动量∂L/∂V=γmv+qA④
d(∂L/∂V)/dt
=m(vdγ/dt+γdv/dt)+q(∂A/∂t+∂A/∂r•dr/dt)
=γ³mdv/dt+q[∂A/∂t+(V•▽)A]⑤（A看作标量·单位矢量，链式法则先对标量求导，再对单位矢量求导）
∂L/∂r=∂L/∂x+∂L/∂y+∂L/∂z
=q▽(-φ+Α•V)
=q[-▽φ+▽(Α•V)]
=q[-▽φ+(V•▽)A+Vx(▽xA)+(A•▽)V+Ax(▽xV)]（速度V的梯度和旋度=0）
=q[-▽φ+(V•▽)A+Vx(▽xA)]⑥
⑤⑥代入③
γ³mdv/dt+q[∂A/∂t+(V•▽)A]-q[-▽φ+(V•▽)A+Vx(▽xA)]=0
γ³mdv/dt=-q[∂A/∂t+▽φ-Vx(▽xA)]
定义f=γ³mdv/dt，
E=-∂A/∂t-▽φ（-E/c=∂A/∂ct+∂φ/c∂r）
B=▽xA(B=∂A/∂rΛdr）（Λ楔积符号）
得到f=q(E+VxB)（广义洛伦兹力）
（后面这部分指标可能有问题，我没有认真审核）
定义一个电磁场张量F_μν=∂A_ν/∂x^μ-∂A_μ/∂x^ν
▽×E=▽×(-∂A/∂t)-▽×(▽φ)=-∂B/∂t（梯度无旋）（电磁感应）
▽•B=▽•(▽×A)=0（旋度无散）（磁高斯）
等价为F_μν=∂A_ν/∂x^μ-∂A_μ/∂x^ν
用∂/∂x_ν作用在F_μν上，
F_μν•(∂/∂ct,∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)^T=(μ₀cρ,μ₀J¹,μ₀J²,μ₀J³)^T（这里J应该是上标还是下标？）
得到
1/c(∂Ex/∂x+∂Ey/∂y+∂Ez/∂z)=μ₀cρ
即▽•E=ρ/ε₀（电高斯）
和
-∂Ex/c²∂t-∂Bz/∂y+∂By/∂z=μ₀J¹
-∂Ey/c²∂t+∂Bz/∂x-∂Bx/∂z=μ₀J²
-∂Ez/c²∂t-∂By/∂x+∂Bx/∂y=μ₀J¹
即▽×B=1/c²(∂E/∂t+μ₀J)（麦克斯韦-安培）
简写∂^μF_μν=μ₀J_ν

七、格拉斯曼外微分
定义外微分算子d，外乘dxΛdx=0，dxΛdy=-dyΛdx
对于连续光滑函数f，零次外微分
df₀=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂z)dz
等价于▽f
对于矢量函数F，一次外微分
dF₁=[(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy+(∂F/∂z)dz]Λdx
+ [(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy+(∂F/∂z)dz]Λdy
+ [(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy+(∂F/∂z)dz]Λdz
=(∂F/∂y-∂F/∂z)dyΛdz+(∂F/∂z-∂F/∂x)dzΛdx+(∂F/∂x-∂F/∂y)dxΛdy
等价于▽xF
二次外微分
dF₂=[(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy+(∂F/∂z)dz]ΛdyΛdz+ [(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy+(∂F/∂z)dz]ΛdzΛdx+ [(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy+(∂F/∂z)dz]ΛdxΛdy
= [(∂F/∂x)+(∂F/∂y)+(∂F/∂z)]dxΛdyΛdz
等价于▽•F
三次外微分dF₃=HdxΛdyΛdz=0
庞加莱引理：两次连续外微分=0 ，等价为梯度无旋，旋度无散
∮ω=∫dω，斯托克斯公式，左侧区域边界，右侧区域

八、简单李群
1、群基本性质
封闭性
结合律
单位元
逆元
考虑单位元g(0)附近取一阶近似
g(ε)=g(0)+εg‘(ε)，则其有限
群元g(θ)=lim(N→∞)（1+(θ/N) g‘(ε))^N=e^(θ g‘(ε))
令J=g’(0)，g(θ)=e^(θJ)，则称J为群G的生成元。
李群和李代数：
既是光滑流形（无穷阶可导）又是群。可知生成元J为群G空间在单位元的正切空间。χ=θJ为对应的李代数。李代数空间为对应李群在单位元附近的正切空间。李代数与李群的关系为指数映射。
左不变矢量场：
当李群群元g左作用：h→gh，称之为由g生成的左平移。对于所有g的左平移生成的切矢的集合构成了左不变矢量场。显然，全体左不变矢量场即李代数
单参数子群：
当生成元J确定，g(θ)=e^(θJ)即为由参数θ确定的单参数子群，显然它是经过单位元的（g(0)=I)。
李群伴随和李代数伴随：
通过线性映射：g'=hgh⁻¹，得到另一个条单参数子群g‘。可证g‘(0)=hg(0)h⁻¹=g(0)，同样经过单位元。这样的映射被称为李群G的伴随作用。Ad_h g=hgh⁻¹
它有这样的特性：先左作用再求切矢=先求切矢再左作用。
d[e^(θJ‘)]/dθ=e^(θJ’)d[e^(ωJ)]/dω|ω=0
即e^(-θJ’)J‘e^(θJ‘)=J
ad_g J’(李代数g，非李群g）=gJ‘g⁻¹称其为李代数的伴随作用。

八、简单李群
2、特殊正交群
SO(3)特殊正交群
定义为RRᵀ=I,det R=1的三维实矩阵，即三维转动群。
群元R(n,ω)，n=n¹e₁+n²e₂+n³e₃，为单位向量
对应三个基矢的转动
R(e₁,ω)=[1,0,0/0,cosω,sinω/0,-sinω,cosω]
R(e₂,ω)=[cosω,0,-sinω/0,1,0/sinω,0,cosω]
R(e₃,ω)=[cosω,sinω,0/-sinω,cosω,0/0,0,1]
求生成元T=-i∂R(e,ω)/∂ω|ω=0
对应三个生成元基矢
T₁=[0,0,0/0,0,-i/0,i,0]
T₂=[0,0,i/0,0,0/-i,0,0]
T₃=[0,-i,0/i,0,0/0,0,0]
则SO(3)群元可表达为R(n,ω)=exp[iωn•T]
n•T=nᵃTₐ=n¹T₁+n²T₂+n³T₃，即n^（单位向量n对应的反对称矩阵）
简单计算有
n^n^=nnᵀ-I
n^n^n^=(nnᵀ-I)n^=-n^
（n^为对应的反对称矩阵，nnᵀ为克罗内克积，I为单位阵）
对e^[iωnᵃTₐ]泰勒展开得到
Icosω+nnᵀ(1-cosω)+n^sinω
对于给定的旋转轴n，参数ω确定了一个SO(3)的单参数子群。我们可以将参数ω和所有可能的转轴n对应到一个半径为π的三维实心球上。也就是说SO(3)的流形是一个半径为π的三维实心球体。且exp[iωn•T]和exp[-iωn•T]对应同一个群元，即R(n,ω)=R(-n,ω)，直径两端的点要对径认同（视为同一点）。所以SO(3)是双连通的。

八、简单李群
3、特殊酉群
SU(2) ，特殊酉群
UU⁺=I,det U=1，SU(2)同构于单位四元数
[x⁰+ix³, ix¹+x²
ix¹-x², x⁰-ix³]
=x⁰[1,0/0,1]+x¹[0,i/i,0]+x²[0,1/-1,0]+x³[i,0/0,-i]
其中
[1,0/0,1]=I, [0,i/i,0]=iσ₁,
[0,1/-1,0]=iσ₂, [i,0/0,-i]=iσ₃
I和σ分别是单位阵和泡利矩阵，
SU(2)群元也可表达为U(n,ω)=exp[i(ω/2)n•σ]，其中n为实三维空间中的单位向量，n•σ=n¹σ₁+n²σ₂+n³σ₃，(n•σ)²=1
通过计算可得
[0,i/i,0]=iσ₁,
[0,1/-1,0]=iσ₂,
[i,0/0,-i]=iσ₃
为SU(2)的生成元的三个基矢
对exp[i(ω/2)n•σ]泰勒展开，
1+[i(ω/2)n•σ]+[i(ω/2)n•σ]²/2!+[i(ω/2)n•σ]³/3!+[i(ω/2)n•σ]⁴/4!•••
=1+[i(ω/2)n•σ]²/2!+[i(ω/2)n•σ]⁴/4!•••
+[i(ω/2)n•σ]+[i(ω/2)n•σ]³/3!•••
= cos(ω/2)1+isin(ω/2)n•σ
x⁰=cos(ω/2)
x¹=sin(ω/2)sinθcosφ
x²=sin(ω/2)sinθsinφ
x³=sin(ω/2)cosθ，
可以看到：ω=0，对应的群元为diag(1,1)
ω=2π，对应群元为diag(-1,-1)，ω=4π，对应群元也是diag(1,1)，这就是自旋1/2要转两圈才能回到原位。
由SU(2)定义xᵃxₐ=1来看，其流形是一个三维超球面S³，也可通过一个映射使它退回三维球体B³（一个半径从0到2π的实心球，球面视为同一点）

附加一、史瓦西行星轨道方程
取几何单位制G=c=1，先令（1-2M/r)=A，史瓦西度规表达为
(ds)²=-A(dt)²+A⁻¹(dr)²+r²(dθ)²+r²sin²θ(dφ)²
四速(ds/dτ)²=-A(dt/dτ)²+A⁻¹(dr/dτ)²+r²(dθ/dτ)²+r²sin²θ(dφ/dτ)² ①
根据四速归一化-(ds/dτ)²=η，类时η=1；类光η=0。
对于行星轨道面，规定极角θ=π/2，对于类时，
系统有两个常量：
A(dt/dτ)=E能量
r²(dφ/dτ)=L角动量
①式化为
-1=-A⁻¹E²+A⁻¹(dr/dτ)²+L²/r²
→ E²-A(L²/r²+1)=(dr/dτ)²=[(dr/dφ)(dφ/dτ)]²=(L²/r⁴)(dr/dφ)²
→ (dr/dφ)²=E²r⁴/L²-Ar²(1+r²/L²)②
令u=1/r，du=-1/r²dr→dr=-r²du
②式化为(du/dφ)²=E²/L²-A(u²+1/L²)
A=1-2M/r代回，
(du/dφ)²=E²/L²-u²+(2M)u³-1/L²+(2M/L²)u
对Φ求导d²u/dφ²=-u+M/L²+3Mu²

附加二、双生子问题
写出匀四加速世界线在静止惯性系下的参数方程，
ct=c²/A•sinh(Aτ/c)
x=c²/A•cosh(Aτ/c)
τ为四加速系的固有时
取微分
dt=cosh(Aτ/c)dτ
dx=csinh(Aτ/c)dτ
U=dx/dt=ctanh(Aτ/c)
得到dt/dτ=cosh(Aτ/c)≥1
dt是静止惯性系的固有时，也就是地球的人，
dτ是匀加速系的固有时，也就是飞船的人，
固有时代表各自的生理年龄，出发之后，dt恒大于dτ，也就是说坐飞船经历的年龄总是比地球上少。

你是有多想不开 要在百度上贴式子