流形中最显见的几何量便是其面积 / 体积。然而，由于GR处理的是伪黎曼流形，因此需要小心地避免负数开根的情况。推广 n ≤ 3 维空间中的体积元，得到 n + 1 维时空体积元之定义：
dΩ = √|g| dx0 ∧ · · · ∧ dx^n
这里的 |g| 指的是 |det g|, 即度规张量行列式的绝对值。
这里回顾一下行列式的一般定义。首先，对 (1, 1) 张量 Λ, 有：
detΛ = ϵµ0···µn Λ^ µ0_0· · ·Λ^µn_n
其中 ϵ_µ0···µ_n 是 Levi-Civita symbol，其分量在所有参考系中均是 0 或 ±1, 故不是严格意义上的张量。

可见，(1, 1) 型张量的行列式即其矩阵表示的行列式，由此矩阵行列式的一些特性得以直接应用。
在定义式中，Λ^µ_ν 的下指标以 0, 1, 2, . . . , n 顺序排列。交换两列，行列式的符号发生改变；
也就是说，有如下关系：

若定义上指标的列维-奇维塔符号与下指标的对应数值相等，则有：

从而可得完整关系为：

而对于 (0, 2) 型张量 g 来说，同样依照其矩阵表示定义其行列式：

应该注意的是，此处定义中之ϵ^(ν0···νn) 并非由ϵ_(ν0···νn) 升指标所得到。只要咱们考察g^(−1)即可得到：

可以发现它与一般的指标上升差了个 det g 因子。