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灵感来自08年糕烤数学江西卷压轴

初步猜想是λ在合适范围内那两个取值范围都是（1，n-1），但具体的有待证明和讨论

@ji23℃ @愿一生去陪你🌻 @sqing不等式

可以先证明如果a, b≥1，则1/(1+a)+1/(1+b) ≤ 1/(1+ab)+1/2
( 通分之后相当于(2+a+b)(2+2ab) ≤ (3+ab)(1+a)(1+b)，右边减左边等于(ab-1)(a-1)(b-1)≥0 )
而如果0<a, b≤1，则1/(1+a)+1/(1+b) ≤ 2/(1+√ab)
( 这个通分之后相当于(2+a+b)(1+√ab)≤2(1+a)(1+b)，右边减左边等于(a+b-2√ab)(1-√ab)≥0 )
所以在∏a[i]为定值, n≥2时，如果∑1/(1+a[i])取到最大值，不可能有两项a[i], a[j]＞1
否则可以把a[i], a[j]换成a[i]*a[j] 和 1，这时∑1/(1+a[i]) 的值增大
同理，也不可能存在0<a[i]<a[j]≤1，否则a[i], a[j]可以换成√a[i]*a[j]和√a[i]*a[j]
假设a[1]≥a[2]≥…≥a[n]，n≥2
要么a[1]＞1而且其余项不超过1，则存在x＞1, 0<y≤1使得a[1]=x, a[2]=a[3]=…=a[n]=y，并且xy^(n-1)=λ^n
此时 ∑1/(1+a[i]) = 1/(1+x) + (n-1)/(1+y) = y^(n-1) / (λ^n+y^(n-1)) + (n-1)/(1+y)
要么每一项都不超过1，全都相等，a[1]=a[2]=…=a[n]=λ
此时 ∑1/(1+a[i]) = n/(1+λ)
然后对λ 分类比较y^(n-1) / (λ^n+y^(n-1)) + (n-1)/(1+y) 和 n/(1+λ) 大小就好了
设f(y)= y^(n-1) / (λ^n+y^(n-1)) + (n-1)/(1+y)
n≥3时f'(y)= -(λ^n-y^n)(λ^n-y^(n-2)) / (y+1)²(λ^n+y^(n-1))²
如果λ≥1，在(0, 1]上f'(y)≤0，f(y)单调递减，y→0时f(y)→n-1，并且此时n-1＞n/(1+λ)，所以最大可以趋于n-1
如果0<λ<1，在(0, λ^(n/(n-2)))和(λ, 1]上f'(y)<0，在(λ^(n/(n-2)), λ) 上f'(y)＞0
按照单调性还是要比较 n-1和n/(1+λ)
当λ＞1/(n-1)时n-1＞n/(1+λ)，最大趋于n-1
当0<λ≤1/(n-1)时n-1≤n/(1+λ)，可以在a[1]=a[2]=…=a[n]=λ时取最大值n/(1+λ)
n=2, 0<λ<1时f'(y)在(0, λ)上为正，在(λ, 1)上为负，最大值同样是 2/(1+λ)，当a[1]=a[2]=λ 时取到
n=2，λ≥1时f'(y)在(0, 1]上非负，最大值当a[1]=1, a[2]=λ²时取到，等于1/2+1/(1+λ²)

类似这样子也可以求最小值(下界)，最后综合起来是这样子
如果n≥3
当λ≥n-1 时∑1/(1+a[i])∈[n/(1+λ), n-1)
当1/(n-1)<λ<n-1时∑1/(1+a[i])∈(1, n-1)
当0<λ≤1/(n-1) 时∑1/(1+a[i])∈(1, n/(1+λ)]
如果n=2
当λ＞1时∑1/(1+a[i])∈[2/(1+λ), 1)
当0< λ < 1时∑1/(1+a[i])∈(1, 2/(1+λ)]
当λ = 1时∑1/(1+a[i])恒等于1

吧主，后面那个式子你加油

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