三倍角吧

有没有人啊，我想不出来感觉要睡不着了

来个大佬帮我解一下吧

因为 3sin10°-4sin10°³ = sin30°，如果设x=sin10°，也就是6x-8x³=1
假如8x³-6x+1=0 存在有理根的话可以设为m/n，其中m, n是互素整数，n＞0
则 8m³-6mn²+n³=0，6mn²= 8m³+n³= (2m+n)(4m²-2mn+n²) = (2m+n)[(2m+n)²-6mn]
(1) 如果2m+n不是3的倍数，那(2m+n)²和(2m+n)²-6mn也都不是3的倍数，等式右边不能被3整除，但左边是6mn²=3*2mn²会矛盾
(2) 如果2m+n是3的倍数，那(2m+n)²和(2m+n)²-6mn也都是3的倍数，等式右边被9整除，那左边6mn²也是9的倍数
则m和n至少有一个被3整除，但2m+n也被3整除，可以推出m, n都被3整除，就与m, n互素矛盾
所以8x³-6x+1=0 是不存在有理根的

上了大学把高中知识全忘了是吧

用反证法可以吗

假设sin10度是有理数，那么存在整数p和q（q不为0），使得sin10度=p/q根据三角函数的倍角公式，我们有sin20度=2sin10度cos10度，由于sin10度=p/q，我们可以将cos10度表示为√(1-sin^2(10度))=√(1-(p/q)^2)因此，sin20度=2(p/q)√(1-(p/q)^2)得到sin20度=2p/q*√(q^2-p^2)/q由于sin20度也是有理数，可以得到√(q^2-p^2)是有理数，但是，√(q^2-p^2)是一个根式，如果它是有理数，那么q^2-p^2必须是完全平方数，这意味着q^2-p^2=m^2，其中m是整数，因此，q^2=p^2+m^2根据费马小定理，对于任何大于2的整数n，不存在整数x、y和z，使得x^n=y^n+z^n

得到多项式以后还有个解法，由于是三次的，有理根等价于Q上可约，进而等价于Z上可约，然后凑一下就好了

前面和5楼一致，只需要证明一元多项式8x^3-6x+1＝0无有理根即可。然后用这个简单的小结论（高等代数学谢启鸿236页，证明很简单）试一下因子就可以了。