数:宛若人生
柯 耳
摆在我面前的是一本很破很旧的书：《数，科学的语言》，我读她已经十多遍了，每次都给我无穷的思索和掩饰不住的喜悦。我有一种强烈的冲动，想把她推荐给所有想对数学有所了解的人。
该书作者丹齐克在数学界和数学哲学界都是一位名不见经传的人物。本书的标题“数，科学的语言”也很容易使人误认为是专谈“自然科学”的，从而令人文学者望而却步。可是我觉得这本书是用数来诠释人生，所以书名改为“数，人生的语言”或许更恰当些。
从“译者的话”看，苏仲湘先生曾带着极大的热情研读过该书，从中得到的智性上的欢娱或许更甚于我。他认为该书“脉络清明，条理详晰，抑且目光四射，取材广博，兼引文史，庄谐互出。”“内容生动广博，深浅咸宜，专家们可以从中撷取丰富的材料，青少年和一般读者可从中得到对数学乃至文化发展的了解，实可有助于穷搜原委，开阔眼界，丰富学养，剖析学理，有助于学习的探求和发展。”本文试图对贯穿这本书的数与人生的主题作一概要的评述。
人是万物的尺度
人类在进化的蒙昧时期有一种感知层次上的数觉的才能：当在一个小的集合里边，增加或者减少一个东西，尽管他未曾直接知道增减，也能够辨认到其中有所变化。据动物学家观测，有几种昆虫和鸟也有这种“数觉”。但实验表明，不管是动物还是人，数觉能力都是非常有限的。
那么是什么使我们赢得了用数来表达我们的宇宙的惊人成就呢?丹齐克认为，经历了一连串漫长的特殊的环境，人类在极为有限的数觉之外，学会了另一种技巧来给他帮忙，这技巧就是计数。正是计数，才使具体的不同质的表达多寡的概念结合为统一的抽象的数概念。前者是原始人的特点，后者则是数学发展的前提。
用什么来计数呢?依据语言学家的研究，数学语言的结构，几乎是普遍一致的。无论什么地方，人的十根手指都留下了不可磨灭的印迹。我们的十根手指毫无疑义地影响了我们数制基底的“选择”。除了十进制外，还有其他两种相当普遍的基底，它们的特征相当普遍地表明了我们计数方法的拟人化性质，这就是五进制和二十进制。五进制起源于惯用一只手计数的民族，二十进制则起源于计数时手指脚趾并用的原始部族。
然而，从现代数学的观点来看，十进制无论如何都不是一个很好的选择，如果让一群专家来选择基底的话。实用家可能坚持要用有最多因数的数，如十二，大博物学家毕封就曾经提议举世公用十二进制。数学家则坚持要用质数，例如七或十一之类作基底，如数学家拉格朗日宣称：用质数作基底有绝大好处!可是，从文化史的观点来看，改变数制的基底，即使可行，也是极不受欢迎的。计数这一人类精神生活的最重要方面之一，是起源于人类自身。设想要是人类没有屈伸自如的手指，而只有两只“不分关节”的秃拳，那么我们会采用什么进制呢?
确定性与不确定性
人的命运可以说从第一位旧石器时代的战士偶然地被石块绊倒时起就被说开了。一方面很多宗教都宣扬人的命运前定；另一方面，唯意志论者强调自由意志的作用，好像人的命运完全由自己所把握。当你我处在人生的十字路口，面临多种选择时只能选择其中一条路，所以经常有人感叹：“假如我当初……”然而由于时间的不可逆性，这种“假如”是根本不存在的，因为每个人的人生只有—条轨迹。这一条道路是上帝决定的还是你自己决定的呢?争论是无止境的。但是我们从可预见性来看，人的命运的确定性和不确定性并存。数，非常准确地刻画了我们人类所处的状态。
自然数序列乃是算术的基础。算术以其法则的极大普遍性和简单性，使得最笨的人也能领悟，其道理就在于机械性。丹齐克引用芝诺的话，“说过一遍的话可以永远重复”，以说明自然数序列的哲学基础：“当一个动作一旦可能，我们的心灵就能够设想这个动作的无限次重复。”这就是对将来确定性的把握。
另一方面，质数序列是数论的基石。数论是数学中所有部门里面最最难的一门，其所以难，是因为它含有更多的实验科学的气味。数论中很多问题，如哥德巴赫猜想，至今仍在向许多最伟大的数学家的能力挑战。质数的序列，我们已经证明是无限的，然而若干世纪以来，人们千方百计企图找出一个适用于所有质数的普遍的数学公式，以便对质数有一个确定的把握，然而各种尝试都失败了。我们已经找到的最大质数是2756839－1，然而我们要想找到下一个质数却不知何时。它不像我们对偶数的寻找，当我们说第n个偶数是2n，那么我们一定知道下一个偶数是2n＋2，对于偶数的序列我们可以心满意足地说：“我们全都知道了。”寻找质数倒像我们对明天所作的判断一样。“明天会出太阳，是一种假设；也就是说，我们不知道它是否会出来”(维特根斯坦)。人的命运若说是早已注定的，但我们现在并不能预见将来怎么样；然而若你说它是不确定的，由于人生的不可逆性，好像早就确定了下来，但这种确定并不是我们自己所能把握的，正像全部质数序列超出我们人类把握的能力一样。
柯 耳
摆在我面前的是一本很破很旧的书：《数，科学的语言》，我读她已经十多遍了，每次都给我无穷的思索和掩饰不住的喜悦。我有一种强烈的冲动，想把她推荐给所有想对数学有所了解的人。
该书作者丹齐克在数学界和数学哲学界都是一位名不见经传的人物。本书的标题“数，科学的语言”也很容易使人误认为是专谈“自然科学”的，从而令人文学者望而却步。可是我觉得这本书是用数来诠释人生，所以书名改为“数，人生的语言”或许更恰当些。
从“译者的话”看，苏仲湘先生曾带着极大的热情研读过该书，从中得到的智性上的欢娱或许更甚于我。他认为该书“脉络清明，条理详晰，抑且目光四射，取材广博，兼引文史，庄谐互出。”“内容生动广博，深浅咸宜，专家们可以从中撷取丰富的材料，青少年和一般读者可从中得到对数学乃至文化发展的了解，实可有助于穷搜原委，开阔眼界，丰富学养，剖析学理，有助于学习的探求和发展。”本文试图对贯穿这本书的数与人生的主题作一概要的评述。
人是万物的尺度
人类在进化的蒙昧时期有一种感知层次上的数觉的才能：当在一个小的集合里边，增加或者减少一个东西，尽管他未曾直接知道增减，也能够辨认到其中有所变化。据动物学家观测，有几种昆虫和鸟也有这种“数觉”。但实验表明，不管是动物还是人，数觉能力都是非常有限的。
那么是什么使我们赢得了用数来表达我们的宇宙的惊人成就呢?丹齐克认为，经历了一连串漫长的特殊的环境，人类在极为有限的数觉之外，学会了另一种技巧来给他帮忙，这技巧就是计数。正是计数，才使具体的不同质的表达多寡的概念结合为统一的抽象的数概念。前者是原始人的特点，后者则是数学发展的前提。
用什么来计数呢?依据语言学家的研究，数学语言的结构，几乎是普遍一致的。无论什么地方，人的十根手指都留下了不可磨灭的印迹。我们的十根手指毫无疑义地影响了我们数制基底的“选择”。除了十进制外，还有其他两种相当普遍的基底，它们的特征相当普遍地表明了我们计数方法的拟人化性质，这就是五进制和二十进制。五进制起源于惯用一只手计数的民族，二十进制则起源于计数时手指脚趾并用的原始部族。
然而，从现代数学的观点来看，十进制无论如何都不是一个很好的选择，如果让一群专家来选择基底的话。实用家可能坚持要用有最多因数的数，如十二，大博物学家毕封就曾经提议举世公用十二进制。数学家则坚持要用质数，例如七或十一之类作基底，如数学家拉格朗日宣称：用质数作基底有绝大好处!可是，从文化史的观点来看，改变数制的基底，即使可行，也是极不受欢迎的。计数这一人类精神生活的最重要方面之一，是起源于人类自身。设想要是人类没有屈伸自如的手指，而只有两只“不分关节”的秃拳，那么我们会采用什么进制呢?
确定性与不确定性
人的命运可以说从第一位旧石器时代的战士偶然地被石块绊倒时起就被说开了。一方面很多宗教都宣扬人的命运前定；另一方面，唯意志论者强调自由意志的作用，好像人的命运完全由自己所把握。当你我处在人生的十字路口，面临多种选择时只能选择其中一条路，所以经常有人感叹：“假如我当初……”然而由于时间的不可逆性，这种“假如”是根本不存在的，因为每个人的人生只有—条轨迹。这一条道路是上帝决定的还是你自己决定的呢?争论是无止境的。但是我们从可预见性来看，人的命运的确定性和不确定性并存。数，非常准确地刻画了我们人类所处的状态。
自然数序列乃是算术的基础。算术以其法则的极大普遍性和简单性，使得最笨的人也能领悟，其道理就在于机械性。丹齐克引用芝诺的话，“说过一遍的话可以永远重复”，以说明自然数序列的哲学基础：“当一个动作一旦可能，我们的心灵就能够设想这个动作的无限次重复。”这就是对将来确定性的把握。
另一方面，质数序列是数论的基石。数论是数学中所有部门里面最最难的一门，其所以难，是因为它含有更多的实验科学的气味。数论中很多问题，如哥德巴赫猜想，至今仍在向许多最伟大的数学家的能力挑战。质数的序列，我们已经证明是无限的，然而若干世纪以来，人们千方百计企图找出一个适用于所有质数的普遍的数学公式，以便对质数有一个确定的把握，然而各种尝试都失败了。我们已经找到的最大质数是2756839－1，然而我们要想找到下一个质数却不知何时。它不像我们对偶数的寻找，当我们说第n个偶数是2n，那么我们一定知道下一个偶数是2n＋2，对于偶数的序列我们可以心满意足地说：“我们全都知道了。”寻找质数倒像我们对明天所作的判断一样。“明天会出太阳，是一种假设；也就是说，我们不知道它是否会出来”(维特根斯坦)。人的命运若说是早已注定的，但我们现在并不能预见将来怎么样；然而若你说它是不确定的，由于人生的不可逆性，好像早就确定了下来，但这种确定并不是我们自己所能把握的，正像全部质数序列超出我们人类把握的能力一样。
