不小心回车了 送上小题一道 呵呵

环行道上有一辆bus,它有两档速度,其中一档速度绕一圈5Min,一档速度绕一圈10Min.环道上有一车站,bus每经过一次,就等几率的选一档速度来跑这个环线.
你在这个环道上任意地点任意时刻都有可能需要上bus.所以你经常需要等车过来.问你等足够多次车以后,你的平均等车时间是多少?




你的结论是多少? 一定正确吗? 呵呵

3.75?

如果车是单向行驶，应该就是3.75了min


如果车能变向，事情就复杂�

不能转向 别太想当然 :)

嗯，是想错了，由于一个速度是另一个的二倍，所以实际上在任意一个时刻，车速为0.2圈/min的概率是0.1圈/min的二分之一……（每圈转换一次速度，而1/10圈/min转完一圈的时间是1/5圈/min的2倍）

设0.1圈/min的速度为a，则0.2圈/min的速度为2a
当公车到人的距离内，不存在那个改变速度的车站时，公车车速的数学期望就是(a*2+2a*1)/3=1.33a，而非1.5a……

如果公车到人的距离内存在车站，那么公车到车站段的车速期望还是1.33a，车站到人段的车速期望则是(a+2a)/2=1.5a（因为速度转换为a或2a的概率是相等的）

假设公车到人的距离是X，一圈全长为L，那么，公车到人的距离内，经过车站的概率为X/L，不经过车站的概率为(L-X)/L
如果经过车站，车速的数学期望值为(1.33a+1.5a)/2=1.41a（17/12 a）。
因此，在所有情况下，车速的数学期望为[X*1.41a+(L-X)*1.33a]/L
等车时间的数学期望就为X/{[X*1.41a+(L-X)*1.33a]/L}
已知L/a=10min，原式可化为10X/[X*1.41a+(L-X)*1.33a]

之后，就只能在X从0到L的区间内求积分了，好复杂……

直觉果然让你把复杂问题简单化了吧 呵呵
粗略看了下,你后面的分析好象是对了.这个题目的结果是:145/36 你不如简单验算下



因为每一圈车是匀速 ，所以车在圈上的任意位置的几率相同，在任意区间的几率正比与区间长度。所以车在站点和该点之间（既车从站点直接驶向该点）的几率为x，车在该点和站点之间（既车驶过站点再到达该点）的几率为（1-x).在后一种情况总驶过站点后高速和低速各有一半的机会。再加上前面的推论:“由于转一圈的时间长短不同.在任意一时刻它有1/3的几率可能是快车，2/3的几率是慢车“.再加上一条公式 同一情况下平均等车时间为最长等车时间+最短等车时间再除2，这样可以列出一般公式：
　　2/3 * x * 10x/2 + 2/3 * (1-x){1/2 * [(10+10/2)/2] + 1/2 * [10(10-x) + 5x +5x]/2}
　　+1/3 * x * 5x/2 + 1/3 * (1-x){1/2 * [(5 +5x)/2] + 1/2 * [5(1-x) + 10x +10x]/2}
　　公式比较长，但没办法有这么复杂，上面公式化简为25/6 + (5x^2-5x)/6 可以看出在不同点平均等车时间是不同的 在x=0 or x=1 既在车站等是最久的，在x=1/2既一半的地方等是最快的。
　　再来求平均时间，比较简单了，对上面的式子从0到1积分再除总路长1 求得平均时间为145/36。

其实这个题目 当时我做的时候说的是两辆这样的bus在路上转. 确实计算太复杂了.我拖了很久就没能算出来.

拒绝积分。高数对我是太遥远的回忆�

不过，对于你的做法，我有些疑惑。

假设一圈的长度为1，车到人的距离为x。那么，车到人经过站的概率为x，不经过站的概率为(1-x)。

那么等待时间为：
2/3*(1-x)*10x+2/3*x*(1/2*10x+1/2*(10+5)x/2)+1/3*(1-x)*5x+1/3*x*(1/2*5x+1/2*(5+10)x/2)
简化后是(25/3)x-(12/5)x^2

忽略我6楼的回复吧，平均速度的求法显然是错误的……

我认为答案应该是10�

更正：简化过后是(25/3)x-(5/12)x^2

x的表达的意思不一样而已 我的是人到车站的距离 你的是人到车的距离
(25/3)x-(5/12)x^2 从0到1积分的结果就是145/36

你怎么连这么基础的高等数学知识都忘记了?

7年没碰了。
X^2的积分是(1/3)X^3+常数 吗？

没看出 Omninsight 真是天才�