（2）转自科学松鼠会by季候风

这次来谈谈拓扑学中有代表性的一个课题， 扭结分类问题。所谓扭结，顾名思义就是一根绳子首尾相接，它可能打了结。更一般的，可以是几根绳子，除了自身打结以外，还互相打结。对具体的一个扭结，也许可以通过做实验的办法判断它是否打结，但是数学家希望找一个普适的，定量的办法。比如说，任意画一个扭结（它实际上是一个空间扭结的平面投影），比如这个有点复杂的，怎样不动手做实验就能判断它到底有没有打结？
这个问题后来证实是非常复杂的问题。在有了计算机以后，才能找到一种时间代价很高的算法让计算机帮助我们判断一个扭结投影到底有没有打结。直到 2006 年，才找到一种真正快速的计算机算法来判断这件事。
扭结分类的问题比判断是否打结更困难。比如，以下两个扭结都打了结，它们是否本质上是同一种结？

所谓 “分类”， 就是要找一个（可计算的）判据，使得当两个扭结满足这个判据时就是同一种结；当它们不满足这个判据时就不是同一种结。到现在为止，也还只能找到一些非常复杂的判据，同样要借助计算机才能大致判断两个扭结是否本质上为同一种结。
扭结理论有一段很有趣的早期历史。1867 年，著名物理学家开尔文勋爵，就是那个号称物理学已经接近终结，只剩 “两朵乌云”的开尔文，突然产生了关于化学元素表的新看法（那时候还没有发现原子，所以化学元素表还是一个谜）。开尔文认为，不同的化学元素其实是 “以太”的涡旋在空间中的扭结形态。“以太”是19 世纪的物理学家们发明的概念，它被想象成充满整个空间，是电磁波传播的载体（或媒质）。开尔文是很严肃的物理学家，当然不能凭空想象，实际上他提出了几个即使从现在的观点看来也很合理的证据：
（1）元素很稳定，这可以用扭结的拓扑性质来解释，微小的形变不改变扭结的 “扭法”。
（2）元素很多样，这可以用扭结的多样性来解释，不同的 “打结方式” 实在太多了。
（3）不同的元素发出不同的光谱，这可以用 “以太扭结” 的各种 “振动方式” 来解释。
有时候我们不得不佩服一些大师，他们虽然偶尔有点信口开河，不过极富原创力想象力。开尔文这个想法可以算是 “弦论” 的原生态。虽然后来化学周期表更好地被理解为原子内部结构，但开尔文列举的这几个证据都能在新兴的弦论中依稀找到一点影子。
请原谅我不能在这里具体给出任何判断两个扭结不同的方法。任何这样一个方法，都需要很多图解和文字说明。有兴趣的网友可以读姜伯驹的《绳圈的数学》或者英文书 《An introduction to knot theory》， 作者 Lickorish, 属于系列 GTM (graduate texts in mathematics) 175. 再贴几个扭结：


然后是一个问题：下面三个扭结中，哪两个本质上是同一种结？

（6）结语 转自科学松鼠会by季候风
前面几篇简要涉及了代数拓扑、微分拓扑、低维拓扑，如果大伙儿还不知道这些是啥，请复习拙著：）。其实，拓扑的概念和方法已经渗透到整个数学，而不仅限于拓扑学研究本身。
很多文献会提到，拓扑学起源于柯尼斯堡七桥问题，以及与此相关的一笔画问题。欧拉解答了这个问题。同样是欧拉，给出了第一个拓扑不变量，多面体表面的欧拉数（点数-边数+面数）。可以认为欧拉是第一个研究代数拓扑学的人（虽然莱布尼兹曾经臆想过）。
传说中高斯当年是德国国土局的领导，负责丈量土地。他由此观测到山脊附近的地面弯曲性质可以用内在的测量方法得到（所谓曲面的内蕴几何），他还定义了度量曲率大小的量（高斯曲率），并且将这个局部定义的、可以用微积分计算的量同整体定义的欧拉数联系起来（高斯-博内定理），所以他可以被追认为研究微分拓扑的第一人。当然，高斯的主业其实是政府工作、开创现代数论、以及电磁学。业余时间研究一下各种误差的分布啊，欧几里德的几何原本有什么错误啊之类的小问题作为消遣。
第二尊菩萨，黎曼同学，除了开创流形的几何学、发展了傅立叶分析和积分理论、研究了一下素数分布提出世界第一难题黎曼猜想之外，他不到40岁的短暂一生的其余时间基本上都在思考复变函数的问题。为什么有的复变函数是多值的？比如平方根和对数。能否把它们以某种方式变成单值函数？人们的思维定势是，既然函数是多值的，就像一条横着的抛物线，一个 x 对应到两个 y, 要变成单值很容易啊，砍掉抛物线的一半就行了。黎曼不这么看。他觉得，如果把函数图像本身作为定义域，每个点当然只对应到一个 y. 这样函数就变成单值的了，而且没有丢掉任何信息。如果是复变函数，其图像就是一个二维曲面，这就是黎曼曲面。黎曼曲面上有很多复杂的现象，这些现象催生了诸如连通性、单连通性、复叠空间这些拓扑概念，以及奇点、除子、函数域等等一些代数几何的概念。抛开代数几何不说，黎曼也许可以被屈尊为研究低维拓扑的第一人。
牛顿莱布尼兹发明了微积分之后，大家对无穷小无穷大这两个概念很不放心。为了让我们用得更安心，柯西和威尔斯特拉斯等人后来把无穷小解释得非常透彻，基本上就是说两个东西越来越近。“离得近”这个概念从而成为分析中最核心的概念。它正是所有拓扑学分支的共同基础——“点集拓扑”的起源。拓扑学在现实生活中的应用多数跟点集拓扑有关，即，通过分析“收敛性”体现在应用数学中。所以，最牛的牛顿被屈尊为研究点集拓扑第一人（有好事者不以为然，一定要扯到古希腊的阿基米德，这就见仁见智了。）
总而言之，拓扑学有着高贵的血统。当然，好汉不提当年勇，拓扑学的现在和将来如何？20世纪中叶，代数拓扑学朝着高度抽象的方向发展，两位名不见经传的数学工作者（艾伦伯格-麦克雷恩）突发奇想，从中总结出一套抽象语言。为了体现这套语言之形而上，他们重载了先贤亚里士多德的概念——范畴。继解析几何与微积分以来人类数学又一次在概念上经历了大变革。范畴论诞生了。20世纪数学的上帝——格罗登迪克，用7000页的数学圣经将拓扑学和范畴论全面而深遂地渗透到代数几何和数论研究中，改变了整个数学的风貌。与此呼应，世纪之交的物理学也在经历变革，量子场论和弦论呈现出绚丽多姿的数学结构。20世纪物理学的耶稣（上帝被爱因斯坦附身了）爱德华.威顿，身负绝世的拓扑神功，一经施展，整个理论物理学为之色变。拓扑学三位一体，必须要像生物学一样将21世纪纳入自己的势力范围。所以，在这个系列的结尾，让我骄傲地替拓扑学宣称：21世纪是拓扑的世纪！！
I am just kidding.

正如同许多科学家一样，经济学家也进入了计算机时代。他们慢慢地认识到，他们应当在以前所不可想象的尺度上去收集与处理信息，尽管并不是一切信息都是有用的，而且收集来的信息还必须处理成为有用的形式，那时穿孔机时代刚开始。在一些硬科学中，研究人员发现他们要积聚上千个或上百万个数据点是容易的。经济学家，像生物学家一样，要与有生命的世界打交道，而经济学家更要面对万物之灵的狡猾行为。 但是在经济学家的环境里，数据供应真是源源而来。从曼氏的眼光来看，棉花价格是一个理想的数据来源，记录是完整的，直到一个世纪之前全有记载。因为棉花有一个集中的市场，所以也有几种的记录。因为在世纪交替之际一切南方棉花均由纽约转运新英格兰，而利物浦的棉价与纽约棉价相连系。 尽管经济学家在分析商品价格或库存价格的时候无所作为，但是却不能说经济学家思想中没有价格如何变动的基本观点。恰恰相反，所有经济学家都有不少共同的观点。例如，他们都坚信那微小的，瞬时性的价格变化与大而长期的变化不是一回事。快速涨落是随机的。在日常交易 中小尺度的起落不过是噪声，无多大意思，也是不可预测的。但是长期变化则完全是另一码子的事。这几个月、几年，乃至几十年的价格大幅度升降必然取决于深刻的宏观经济力，战争趋向或经济萧条，以及一些必须在理论上弄清楚的力量。另一方面，短期涨落却又是长期变化的信号。 曼德尔布诺特正在发展的关于现实的图像里竟然没有二分法的位置。曼氏不是把微小的变化与宏大的变化分离开来，而是把它紧紧地联系在一起。他所寻找的一种形象，既无所谓小尺度，也无所谓大尺度，而是超越一切尺度。当时，他其实也不知道怎样才能画出他头脑中的画像。但是，他知道必然存在一种对称，不是左右的对称，也不是上下的对称。而是大尺度与小尺度之间的对称！ 这正 态的误差分 配之规律在人类的经 验之中乃是对自然哲学最广以上的 概括它其实是研究工作里的导向一起既用于物理科
学又用与社会科学医学农业与工业只要由观察与实验所得基本数据要分析与说明就是绝对不可缺少的工具与思考上第一步要想到的平均与离散 钟形曲线 的确，当曼德尔布诺特把棉花价格的数据通过IBM电子计算机之后，他找到了他所追求的惊人的结果。那些从正态分布观点来看产生偏离的数从尺度观点看却产生了对称。每一天的价格变化的曲线与每一个月的价格变化的曲线完全匹配。不可思议的是，在发生了两次世界大战与一次萧条的60年周期里，分析曼德尔布诺特的思路，竟可得到，变异度保持不变。 在极为无序的大量数据的内部竟存在着一种未曾想到过的序。曼德尔布诺特扪心自问，他知道他所检验的数据具有任意性质，为什么总有一条规律支配着它们呢？为什么这条规律既合适于个人收入的研究，又适合于棉花价格的研究呢？ 实际上，曼德尔布诺特所具备的经济学知识与他和经济学家交往的本领同样是贫乏的，在曼氏发表他这篇论文的时候，前面有一段说明性文字，是由他的学生将曼氏材料写成经济学家所可以理解的语言。 后来曼氏转移了他的研究兴趣，可是他日益增长地决定要去探索尺度现象。这个尺度问题，看来具有自己的生命。大尺度与小尺度的对称可是被看成曼氏的签名。 曼氏在哈佛教授经济学，在耶鲁讲授工程，在爱因斯坦医学院讲授生理学，几年后他在一次学术报告中，在由他人对他作了介绍之后说：“我常常在听到别人对我过去的工作所做的介绍之后，我甚至怀疑我是否就是这个人，我是否存在。因为如此众多的学科集合的交集肯定是一个空巢。”他说这些话时有一种骄傲流露。的确，他自从在IBM工作以来，就开始他多学科的轮转探索。他长期表现为一个外行，他是在一个不时髦的数学角落里用一种非正统的方法在工作，他去探索一种不受欢迎的原理，他必须隐藏其他企图发表他的论文的光辉理想。主要是哈佛大学经济系的领导对他的研究极为 信任。他才得出生存之路。他涉猎于像经济学这样的领域，然后又撤离了，留下了一大堆动人心弦的思想，而缺少更多细致的工作。
在混沌理论的历史上，曼德尔布诺特走出了他自己的一条道路，毕竟在1960年在他的头脑里形成的关于现实的图像，由一个古怪的设想终于演变成为一门成熟的几何学。对于曾经开拓了洛仑兹、斯墨尔、约克、及梅的工作的物理学家来说。这一位带刺的数学家永远是一位只显侧影的表演者——但是，他的技巧与他的语言已经是混沌科学不可分割的一个部分。 像这样来描写曼斯，对于熟习他的晚年生活的读者来说似乎并不合适。但是，尽管在晚年他有长长的一串荣誉称号，有他高度威严的容貌，但最好还是把曼德尔布诺特看作一位流亡者。在1924年，他生于华沙。他的父亲是一位立陶宛犹太人，成衣商人，他的母亲是一位口腔科医生。这个家庭十分恐惧于地缘政治的残酷，在1936年逃到了巴黎。在那里有他的伯伯，索列姆•曼德洛特，一位法国著名的数学家。战争爆发，这个家庭在纳粹来到之前再次逃亡，抛弃了大多数的家私，只有几只箱子，参加了流亡者的行列，堵塞在巴黎之南的公路上，最后达到土湟镇。 他一度当过五金匠人的下手，这对于他的身高与他的教育背景来说是太匿人注目了。这是一个永远不能叫人忘怀的呻吟与恐惧的时代。但是他却在后来极少再谈这些辛酸。他在这个镇上结识了不少的学者，有的是十分优秀的学者，他们也是由于法西斯匪徒的迫害而幽居小镇的。但是曼德尔布诺特的学校教育是十分 不正规的。而且是不连续的，他声称，他从未认真学过字母，也没有系统地背诵过乘法口诀，他只背过五以下的乘法表，毕竟他是一个天才。 巴黎解放了。他报考法国巴黎的师范学院与工艺专科学院，整月的笔试与口试，尽管他准备不足，还是考不上。在这些活动中，由于绘画的考试，他竟发现自己有模仿画出维纳斯的本领。而在数学的考试中，这是代数学与一些分析的组合——他用他的几何的直觉隐藏了他训练之不足。他有一个本领，就是给他一个解析的题目，他马上就在他的头脑里构成一个几何的形象去描述这个题目。给他一个几何形状，他马上有办法找出变换这个图形的方法，改变它的对称性，早就更多的调和性。常常在他的几何变换中直接找到解出类似解析问题的途径。在物理学与化学中，他当时不能运用几何，他的分数就较差，但在数学中，难解的问题融化于几何图形的变化之中得到解决。
法国的师范学院和工艺专科学院是精彩的学院，在美国还没有与之伦比的学校。在两所学院每一年级将有略少于300名学生进入巴黎大学和就任公职。曼德尔布诺特先在师范学院，后进工艺专科学院，他作为学生已经成为法国布尔巴基数学学派的一名叛逆。 也许在世界上除了法国再也不会产生像布尔巴基这样的数学团体。因为法国是一个热爱学院权威与 学习准则的国家。最初她是一个俱乐部，是由曼德尔布诺特的伯父，在第一次世界大战的一个机缘中组合起来的。他们是一群年轻的法国数学家准备重整法兰西数学的雄风，他们是一群无拘无束的年轻人，战争在大学教授与学生之间留下青黄不接的断层，破坏了学术上的连续性，而这些聪明过人的年青人决定建立数学实践的新基础。他们这个团体所取的名称基本上是开玩笑。因为这个名字声音古怪又吸引人——这是后来人们猜想的——布尔巴基是希腊后裔的一位法国将军的名字。生于19世纪，这位将军诞生与滑稽之中，消失于飘渺之际。 这是一个秘密团体。她的成员究竟有哪些人谁也说不清楚，可是成员总数是固定的。每一个超过50岁的人必须离开，便由其他人再去选择一人递补，他们全是优秀的数学家。他们的影响普及欧洲。 在开始，布尔巴基反对庞加莱，这位19世纪末期的伟大人物。因为他是一位现象型的多产思想家与作家。他存在偶发地轻视严谨的毛病。庞加莱会说：我们知道这必然是正确的，所以我们为什么还要去证明它呢？布尔巴基认为庞加莱为数学留下的是动摇着的基础，它们要用宏篇大作，越来越形式化，使数学严密起来。逻辑分析占中心地位。一位数学家必须由坚实的第一原理开始，由此演绎出一切。布尔巴基集团强调在一切科学中教学是第一位，并且坚持数学必须与其他一切科学有所不同。数学就是数学，它并不以它对现实世界的应用来衡量它的价值。更有甚者，布尔巴基摒弃一切图画。一位数学家不能被他的视觉器官所欺骗。几何图形是不可靠的。数学应当纯粹、形式化与问题质朴、干干瘪瘪。 这种倾向并不限于法国。在美国也有一大群数学家不求满足物理科学的需要。正如同有一些作家坚持远离大众的趣味。这个团里盛行一种封闭的敏感性，数学所研究的对象与世无干。他们的方法形式公理化。一位数学家应该说，他所研究的工作并不对世界或科学界有什么说明、有什么意义，并为此而感到骄傲。

由于这种态度可以带来巨大的好处，而数学家对此倍感珍贵，斯蒂夫•斯墨尔本人是把数学与自然科学重新结合起来的人，他也深深相信数学 本身必需由它自己独立的存在。自成体系规定了简洁性，而简洁性与形式化的公理方法同在。每一个严肃的数学家都了解数学的力量来自于它的严格性，没有严格性，数学的骨架就要塌陷。严格性是数学经历许多世纪而连续下来并且有坚强保证的思想路线。 即使如此，对于20世纪的数学，严格性要求也有未曾逆料的后果。数学以一种特殊的进化方式来发展。一位研究家选取一个问题之后要判断走什么样的路工作下去。常常会迂到要在两种道路之间作出抉择，一种道路在数学上是可取的，而另一种道路则是对于了解大自然是有意义的。对于一位数学家，选择是十分明确的：他宁愿与大自然不发生任何一点或任何时刻的联系。他的学生在类似情况也做类似的抉择。 法国是最最严格这样做的国家。布尔巴基正是这一传说的奠基者，这是毫无问题的。她的信条、作风与戒律带有强制性，这一传统为一切优秀的学生所接受。所以她有无上的权威，而她也源源不断地向人类奉献出成功的新一代数学。这种精神在 巴黎师范学院占主导地位。而这一切正是曼德尔布诺特所不能忍受的。他正是因为布尔巴基才离开师范学院，也由于同样的理由离开了法国。这是十年之后的事，这样他就生活中美国。而数十年来，布尔巴基无情的抽象因为计算机出现而受到致命的一击。因为，计算机给数学提供了一只眼睛。这对于曼德尔布诺特只是后话，因为他早已不能生活在布尔巴基的形式主义之下。他拒绝放弃他的几何直觉。 每一个信徒创造他自己的神话，在世界名人录中曼德尔布诺特在他自己的条文中写道：“如果（与体育一样）把竞技放在一切之上，科学便被污染了。如果为了讲清楚竞赛规则而使自己退于狭窄的专门技巧之中，科学就是毁灭。有少数学者，他们的一切定型的学科之间的选择性游牧民，他们对于定型学科的智力福利事业大有好处。”曼德尔布诺特称呼自己是一位选择性游牧民，又叫自己是按需先锋队，他在离开了法国便离开学院式环境而受到IBM的沃特森研究中心的雇用。30年来，由默默无闻变为声名显赫，但从没有在他所指定的方向上真正看到他所涉及的许多学科上有他的论文。甚至数学家也可以毫无敌意地评论他，他在数学界中勿论走到哪儿，哪儿也不是他的专门化领域。
他十分缓慢地找到他自己的道路。这都是科学史上许多被人遗忘的旁门左道里的胡言乱语构成的知识挑动了他的前进之心。他进入数学语言学中去探索，企图说明字的分布的一条规律。（这个问题也有点儿符号化的意味，他辩解他之所以注意这个问题只是因为他从一位纯粹数学家的字纸篓里捡到一本书评，他准备在巴黎地跌上读一读时发现的）。他研究过对策论，他以自己独特的方式进入了经济学，又离开了经济学。他写过一篇论文论述大城市与中小城市分布中的尺度规律性，在这背景下，把他的工作捆在一起的一般框架仍然没有完全形成。 早在他到IBM的年代，他研究商品价格之后不久，他注意了一个让他的老板十分赞赏的实际课题。工程师们长期为一个问题所苦恼，这就是利用电话线来传送计算机到计算机的信息时，电话线中的噪声、电流传送离散包装的信息，工程师们知道，电流越强，则埋没噪音的效果越好。但是他们发现有一些自发的噪音根本无法消灭，擦掉一段信号，也就造成一个误差。 尽管通讯噪音从它的本质来说是随机的，但是大家知道它们是一簇簇出现的。一段无误差的通讯之后紧跟着一段有误差的通讯。曼德尔布诺特从工种师那儿学到了一句关于误差的民谣。但是这句民谣并没有很好地记下来，因为它与标准的思维方式不一致。大意是说：你越是靠近去看这误差的簇，你看到的误差花样就越复杂。曼德尔布诺特提供了一种描述误差分布的规律，它精确地预言着观察到的花样。毕竟这是一件十分奇怪的事。有一点，似乎不可能算出误差的平均率来——每小时的误差平均数，或每分钟的误差平均数，或每秒的误差平均数，在曼德尔布诺特的格式中，从平均来看，误差趋于无穷的稀疏。 他的做法是区分无误差传输段与有误差传输段，并且不断地细分下去，设若你把一天分为小时数，有一小时完全无错，下一小时则有错，再下一个小时是无错。
设若你将有错的那一小时分为较小的段，例如二十分钟一段，你仍将发现，其中有某些段是完全无错的，而有某一二段是有错的。事实上，曼德尔布诺特论述的主题是——这与直觉相抵触——你永远找不到一段，在其中误差是连续散布的。在任一有错的段内，不管这段如何短，总存在着完全无误差的小段。此外，他发现，在有误差簇与无误差簇之间，存在一种始终如一的几何关系。用小时或秒做尺度，有错段与无错段之比是一个常量。（有一次，曼德尔布诺特吓了一跳，因为有一大堆数据与他的理论严重不符。后来才知道，工程师在记录中漏记了一些他们认为是极端情况的数据。他们不知道，失去了它们曼氏理论便不灵了）。 工程师缺乏理解曼氏描述的知识背景，但是数学家是能够理解的。事实上，他不过是再造了康托尔集合的抽象结构；后者以19世纪数学家乔治•康托尔命名。为了构造一个康托尔集合，你要由数的一个区间开始。这区间由0到1，由一线段表示，然后你取走中间的三分之一。这便留下了两段，然后你又取走这两段各自中间的三分之一一段。这样便留下了四段，你再取走它们各自中间三分之一，至于无穷。这样最后剩下了什么？这是一种奇特的“灰尘一般”的点，以簇的形式排列。无穷多，但又无穷稀疏。曼德尔布诺特认定通讯误差像沿时间轴上排列的康托尔集合。 这种高度抽象的描述，对试图在控制误差的不同策略之间进行抉择的科学家来说也有实际的意义。特别是，这意味着，不仅不可增加信号的强度去诱出更多的误差，相反，工程师必须定下一个不太强的信号，接受不可避免的误差。又采用一种冗余策略去捕捉误差，纠正误差。曼德尔布诺特还改变了IBM工程师关于噪声的原因的认识。突然发作的一种误差常使工程师怀疑有人用螺丝刀 什么地方捅了一下，但曼德尔布诺特的尺度花样揭示了噪声绝不能再特定的局部事件基础上得到解释。 曼德尔布诺特又转向其他的数据，这是关于世界河流的数据。埃及人保存着上千年的尼罗河水位高度。这是一件不仅是关注一下就算的事，尼罗河有很大的水位变动。有些年份闹水灾，有些年份闹旱灾。曼德尔布诺特把这些变化用两种效应来分类，一类叫诺亚效应，一类叫约瑟效应；而这与经济学中相同。诺亚效应意味着不连续性；一个量变化时，它总可以变得任意快，经济学家传统上认为价格的改变是光滑的——不管快与慢，事实也是这样，但是这“光滑地”三字意指由一点到另一点要经过一切中间的点。这是借用物理学关于运动的概念。大多数数学用于经济学时也是这样。但是，这一点却错了，价格可以立刻猛涨，一个消息通过电传传来，上千掮客可以立刻改变自己的注意。曼氏断言：假设一种股票在从60美元降到10美元时，中途必然有一点，卖价是50美元，如果这样，那末，股票市场策略注定要失败。
约瑟效应意味着持久性。在整个埃及的土地上，将有七年大丰收，这后，将发生七年的饥饿。这一段圣经文字意味着周期性，当然这是过分简化了。可是洪水与干旱的确存在，尽管其背后也有随机性，干旱愈久的地方，出现更多的痛苦的可能性似乎更大。而且对尼罗河水位分析表用于一个世纪的持久性描述也可用于几十年的期间。诺亚效应与约瑟效应方向相反，但是它们并存：说明了大自然的趋势是实际的，来的快也走的快。 在过去2000年的几何学中，“不连续性”、“噪音阵阵”、“康托尔灰尘”是没有地位的。经典几何学中的形状都是直线与平面，圆与球，三角形与圆锥，它们是现实的高度抽象，正是它们启示了柏拉图的和谐哲学。欧几里得利用这些图形构筑了两千年的历史的传统几何学，而这正是大多数人学过的几何学。艺术家在其中找到了理想的美，托勒密派天文学家利用它来构筑了一个宇宙理论。但是，为了了解复杂性，欧几里得几何是一种错误的抽象过程。
康托尔灰尘，最初由一条线段开始，提出中间的1/3，然后对所余二段各剔除其中间的1/3，如此继续下去，这样剩下的即康托尔集合。这是一些点不点线不线的东西，它们是无穷的多，但是总长度为零。

让哲学中一旁休息吧，一个对象的有效维数竟真正不同于它所在的世俗的、现实的、真实的三维世界，也真是不可思议。但是曼德尔布诺特口头语言的论证有它的弱点，似乎它依赖于模糊的概念，例如“远处看”及“近一点儿”。那末这两者之间呢？肯定在“遥远的地方”与“在近处”之间没有明确的边界，在那里一个毛线团由3维一下子变成1维。毕竟这启示了维数问题的新观念，这种难以定义的转变正说明维数未必是整数。 于是曼德尔布诺特把维数从0，1，2，3，„„解放出来，成为分数维，这似乎是不可能的。这个概念似乎是在概念上的高空走钢丝。尽管对于非数学家来说会有人难以置信，但却已证实，此种认识是极强大有力的思想。 分数维变成了测量一些用别的方法无法定义的性质的手段：一个对象的不规整程度，粗糙程度，或破碎程度，一条扭曲的海岸线，尽管它的长度不可度量，但是却可以有特定程度的粗糙程度。曼德尔布诺特规定了计算实际对象分数维的方法，提供了构造不规整图形的技巧之后或者提供了某些数据之后，便可算出结果。分数维可以是0.7,1.2,3.8,„„他宣布他所研究的几何是大自然中真正对象的几何。有一条明确宣布的法则，即是在不同的尺度上，这不规则程度却是一个常量，十分叫人惊奇，他的法则往往灵验，反复多次，出人意外，大自然表演出规则的不规则程度。 物理学研究中也出现了平行的思潮，他也知道，他开始第一次以书的形式出版他的第一部巨著了。这是1975年的冬天的一个下午，他在思索给他研究的形状，他的维数，他的几何学，起一个名字，这是他的儿子正放学回家。他伸手翻一下他儿子的字典。他注意到拉丁字fractus，这个形容词来自动词frangere，即破裂之意，英文字也有相对的字，分裂，断裂，分数——看来是可用的。于是他对这些形状，维数是分数的形状，叫做分形，fractal。 在曼德尔布诺特的眼中，分形是看到无穷之路。
试想象一个正三角形，每一边是一英尺。现在我们进行一种变换。一个明确规定的，特别的变换，可以不断进行的变换。就是在每一边的正中间1/3处再凸出造一个正三角形，此小三角形中三边出现使原三角形变成六角形。这叫“大卫星形”。而在六角形的十二条边上再重复进行中间1/3处外凸一正三角形的 变化。此时十二条边每边四英寸，然而又出现小三角形于其正中间1/3之后，便变成了7×6=42边形，每一条的正中间也可以在1/3处外凸一个小小正三角形，于此至于无穷。这外缘是愈来愈有精细构造；与康托尔集合愈来愈稀疏相似。这有些像一粒理想的雪花。它是1904年瑞典数学家赫格•冯•科和所描述的，所以叫科和雪花，或科和曲线，这指那些无穷短的短边所连成的边缘曲线。 仔细思考一下，你可明白，科和曲线有一些有趣的特征。第一，它是一条连续的环，绝不自身相交。因为新的三角形每次向外凸的过程中永远不会互相粘连。每次变换对总的包围面积增加了一点儿，但是总面积永远是有限的。并不比那些三角形大的太多。如果你原来的正三角形有一个外接圈，那么科和曲线绝不会超出这个圆。 毕竟这条曲线是无穷大，其长度与欧几里得几何中的指向无限宇宙的直线相同。正是在第一次变换下一条边长为一英尺的线段变为四段四英寸长的线段。因之每次变换就是总长度乘上4/3，直至于无穷大。这是一个似乎自相矛盾的结果，在有限的空间中有无穷长的线。曾经在世纪之交许多数学家的闹钟思考多年。科和曲线是件怪事。它是那些关于形状的合理直觉的变态，它却运行在真实大自然中，又感到它的病态的，似乎大自然不应如此。科和雪花。“一条粗糙的但却严格的海岸线模型”，这是曼德尔布诺特的话。这曲线构造的过程见于正文，边缘的长度为3×（4/3）×（4/3）×（4/3）……至于无穷。但是所围的面积永远小于原三角形的外接圆。所以这是一个无穷长的曲线包围了一个有限的面积。 在当时那个环境中，他们的工作并没有对时代思潮有什么冲击。但是也还有一些怪异的数学家想象到其他的，也表现出科和曲线特征的图形。这就是匹亚诺曲线，还有塞尔平斯基地毯与塞尔平斯基海绵。为了绘制所谓塞尔平斯基地毯，先从一个大正方形开始；每边三等分把它分成一般大的9个正方形，剜去正中的一块。再把其余的8个也分别分为相等的9个小正方形，再各自带孔的建筑，本世纪之初少数的数学家曾经考虑过看起来十分古怪的形状。这是加上或减去无穷多个部分构造而成的，上图是塞尔平斯基地毯，下图是它的三维类似，称为孟格尔海绵，它是体积为零而表面积无穷大。 剜去正中一块。塞尔平斯基海绵又叫孟格尔海绵，即与此地毯相同，仅仅用等边三角形代替正方形。此外还有塞尔平斯基垫片。 这是由正三角形剜去其中内接（倒立）的正三角形。此内接正三角形的面积是原三角形的四分之一。如此反复进行下去，它具有难以想象的性质，即任意一点都是一个分岔点，这全结构中的一支叉子，你如果去看过巴黎埃菲尔铁塔。这垫片便是它的平面图，当然铁塔并没有把分形进行到无穷。但是它已经体现了这项工程的精彩一点即不损害结构强度条件下转移重力。 人脑不能看到完整的无穷自嵌入式的复杂性。但是对于那有几何学家思维方法的某些人来说，这类中精细又精细尺度上结构的重复能打开宇宙之谜。探索这些形状，把思想中的手指深入到这些可能性的弹性边缘上，带有一种回味无穷的欣赏情调。曼德尔布诺特以快乐的童心看到前人所未见过的或未了解到一切。没有人命过名吗？他给它一个名字。绳、片、泡沫、海绵、絮状物，松紧衬片。 分数的维度已被证实是精确研究世界的方法与工具，在某种意义上说，不规整的程度相当于一个物体占领空间的本领。一个简单的，欧几里得式的一维直线完全不能占领空间。但是科和曲线拥有无穷的长度，拥挤在一个有限的空间里。的确占领了空间，它已不是一条线，但又不小于一个平面。它大于一维又小于二维。利用了本世纪之初数学家发动过的研究技巧，曼德尔布诺特可以精确地计算分维数。对于科和曲线来说，无穷次乘以4/3，这分维数是1.2618。
在探索这样的一条道路中，曼斯有两个有利的条件。这是其他几个提到了这些形状的数学家所赶不上。第一，曼氏有IBM名下的庞大的计算机资源，计算机是一位高速运算的呆板的人，但是研究分形正需要它。正像气象学家需要在大气的成百万个相邻的点上进行相同的集中计算一样，曼德尔布诺特也需要用简单程序进行一次再次的变换。独创性可以构想出变换；计算机可以画出图形——经常出现意想不到的结果。20世纪之初的数学家因为没有计算机所以常被繁重的计算所困。这好比早期古生物学家没有显微镜所遇到的障碍一样。在要真正看到宇宙精细又精细的细节时，仅凭想象是走不了多远的。 曼德尔布诺特说：“有一百年的一段很长的空隙，在其中绘图在数学中已不再起什么作用，因为手、铅笔和直尺已竭尽了全力。人类对于手、铅笔和直尺的作用已经了解清楚，它们不再位于研究的前沿，而计算机尚不存在。” “当我最初进入这一个游戏中，完全没有什么直觉，人们必需在手稿上创造直觉。直觉的训练只能由平常的工具来进行——手、铅笔、直尺——找出了这些十分古怪、病态的图画。老的直觉只能导向错误。第一副这样的图画引起我极大的惊奇：后来我就逐步积累了辨识图画的能力。” “直觉并不是天赋的东西，必须训练直觉去接受我原先所不接受的，认为是荒唐的形象，后来我发现别人也是经过这一番训练的。” 另一方面，曼德尔布诺特特有的第二个长处就是他研究过棉花价格，研究过电子通讯中的噪音，还研究过河水泛滥的数据，在这些研究中，他开始形成实际的图像，这些图像现在开始进入角色。他关于大自然过程里不规整花样的研究及他对于无穷复杂形状的探索之间有一个智慧上的交集：这就是自相似这个品质。总之，分形就意味着自相似。

1.黎曼几何是很牛逼的东西呢！=
2. == 祝韩学妹学业有成。
3, = =我想学--逻辑学……

在思考是不是要玩一玩分形的软件
下学期科协搞一个分型图片展也是不错的主意