北元(1368年—1402年）是元朝退回蒙古高原之后的政权。明朝建立并遣徐达大军攻陷元朝首都大都后，退居蒙古高原的原蒙古宗室的政权，因国号仍叫大元，以其地处塞北，故称“北元”。当时高丽人叫北元。当时政治形势是除了元惠宗据有漠南漠北的蒙古本土，关中还有元将王保保驻守甘肃，此外元廷还有东北与云南行省。元昭宗宣光二年六月初三（1372年7月3日），明将领冯胜大败元军，明朝从元朝治下收取甘肃行省。宣光八年（1378年）四月，元昭宗去世，继位的北元后主脱古思帖木儿在1379年六月改年号为天元，继续和明军对抗，屡次侵犯明境[1]。1371年，元朝辽阳行省平章刘益降明，明朝控制今辽宁南部。1381年，明军的沐英和傅友德攻入云南，梁王把匝剌瓦尔密自杀，明军征服云南地区，元朝对云南的统治结束。1402年元臣鬼力赤篡位建国鞑靼，元亡分裂成鞑靼和瓦剌。

广东南开平，也值得在研究。

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根据《明英宗实录》、《明孝宗实录》、《明史》以及其他史料记载，1402年之后至少有四位帝王自称大元可汗，有一位帝王和一位诸侯王称自己的国家为大元。
具体可见这篇论文：
【论文】北元史研究三题——考证为何北元起止时间为1368—1635年
http://tieba.baidu.com/p/2052876056
根据论文中提供的史料，这六人分别是：

脱脱不花汗，给兀良哈三卫的诏书中，称“大元”
也先汗，1453年给明朝的国书中自称“大元天圣大可汗”
达延汗，1488年给明朝的国书中自称“大元大可汗”
俺答汗，达延汗分封的六万户之一的土默特部首领，称其国为“大元国”
彻辰汗，自称“大元彻辰汗”
林丹汗，自称“大元汗”
补充一点，

俺答汗并非北元帝王，他的身份类似于有封地的诸侯王，他和北元帝王的关系，类似于春秋时期晋国国君和周天子的关系。
当年大元大可汗达延汗分封六万户，北元帝王之位由察哈尔部万户的那一支后裔继承，而俺答汗属于土默特部万户的那一支后裔。

具体见这个帖子的1楼和2楼：

台湾地区1980年出版《中国历史地图》中明朝和北元的并立
http://tieba.baidu.com/p/2212055687

今天南开平，南碣石，南滦阳的存在，可能是南元存在的有效证据。南元，不一定是独立的政权形式，至少是一个没有被明朝打败的半独立集团形式，被早期的明朝政权所允许，尽管这个蒙古血缘团体在广东至福建一带存在的时间很短。属于元帝国皇室王爷的分封领地。朱元璋集团从成立的一天起，兵锋所指是向北，再向北。南元存在是可能的，只是后来被政治逐步同化。所以南元不见史料，史存。而蒙元皇族家族史在这一带履现。

明长城就是边界？笑死人

回复 波多尔解衣:丹东到山海关还有长城

有人专门研究古长城。长城以外肯定还有一点明朝的土地，否则这个边墙无法修。如果明朝的疆域在黑龙江以北，他的边墙也会修到江北去的。没有谁家在修院墙时，还要把自家的土地留给别人一块。除非他傻。明朝的皇帝们是不是脑子都灌水了？长城的修建就是实物证据。

这个问题还可以往更深一层讨论。大清政权接替明王朝政权只是一次权利的交接或者过度，而不是一次政治的变革，如果李自成政权接替明王朝的统治，政治上将完成一次政治变革。在清王朝与明王朝政治权利制度上，历史在这里并没有拐弯。所以对明王朝占有长城以北说，统治东北说，到了大清王朝统治华夏，正好适应了大清王朝的政治理念，否则，清王朝就是对内地中原的“侵略”，清王朝的上层心知肚明。

明王朝的边界，只到长城，长城是中华历史边界的最大文物，也是最真实的历史文物。可是这个历史文物竟然被两个历史王朝歪曲了。两个王朝都适应了自己的政治要求，这不是历史的巧合，而是历史政治领土要求的谐振。所以引起了后来历史文字的无限争论，对这个争论今后还会继续争论下去，这个争论是无谓的争吵。应该以实物为第一证据。历史学术，也是以事实为依据。有明一朝的边界，就是长城。关外还有很少的实际领土。
长城以外明朝还有更多领土说，是两个王朝的500多年历史文化造成的，但都不是真话，否则明朝人说的“天子守国门”，就是彻底的一句假话。