但是如果只有雅可比行列式不为非零常数会怎么样？乍一看好像也挺简单的。根据多元微积分里的反函数定理，如果一点的雅可比行列式不为0，那么它就局部存在反函数（也就是这点附近存在反函数）。假设原函数是F，反函数是G，那么G(F(x))就是Id,也就是单位函数。再利用链式法则，能够得到

从而F的雅可比矩阵J_F就是一个可逆的矩阵。但是雅可比行列式是一个多项式，而且有代数基本定理，这个多项式次数大于等于1就会有根。为了雅可比矩阵可逆，这个行列式只能是常数。
但是反过来呢？这个问题由1935年O Keller在讨论“Ganze Cremona--Transformationen”的时候提出。问题如下：
如果复数域的多元多项式F的Jacobi行列式是可逆的，能否说明F存在一个多项式的反函数？
（当然，复数域可以换成任意特征为0的代数闭域）由于这个问题的核心在于讨论雅可比行列式的性质，所以被称为“雅可比猜想”。

令人惊奇的是，在n=2的时候，人们仍然没有任何结果！更何况n>=3了。人们普遍认为在n=2的时候猜想正确，在n>=3的时候不正确。但是至今仍然没有任何证明或反例能够给出。很难相信，在数学如此发达的今天，我们对多项式的理解仍然没有那么深刻。
为什么在二元都这么困难呢？因为在二元的时候，存在反函数的多项式就不是一个简单的线性函数了！一个简单的例子如下：

很容易就能验证，这个函数的雅可比行列式是1，而它的反函数是

看到这个猜想，一个很自然的问题就是：“可否换个条件？”
“代数闭域”的条件是不是多余的呢？很显然，考虑

在R中，它是R到R的双射（由于是单调递增，而且在负无穷趋向负无穷，正无穷趋向正无穷）。它的导数就是显然是可逆的，但是它的反函数却不是多项式。
特征为p的域会怎么样？仅仅考虑就能说明问题了。它的导数是1（由于px^(p-1)=0）,也是可逆的，但是它是代数闭域，x^p+x=0有p个不同的根，也不存在反函数。
那如果函数是解析的呢？那么指数函数exp(x)也就是一个反例了。exp(x)的导数不为0，但由于欧拉公式就可以知道，exp是以2*pi*i作为周期，同样也不是单射。
看来这样几个条件就是雅可比猜想最主要的组成部分了！

研究雅克比猜想目前的方法有以下几种：
(1)“稳定方法”，也叫“K-theoretic”方法，由Bass-Connell-Wright提出。这个方法通过研究多项式的次数以及空间的维数来对雅可比猜想进行讨论。
比如对于多项式有以下定理：
(A. Bialynicki-Birula,M. Rosenlicht,1962) F是C^n到C^n的多项式映射，那么F是单射就说明F是满射。
(S.Cynk, K. Rusek 1991) F是C^n到C^n的多项式映射且为双射，那么F的反函数也是多项式映射
这样只需要说明F是一个单射就能证明雅可比猜想了
(S.Cynk, K. Rusek 1991)如果V是特征0的域上仿射代数集，且F：V->V是自同态，那么F就是单自同构。
证明特征0的域上面的雅可比猜想同样也要证明这是单射。

(3)其他一些方法
雅可比猜想有许多其他的等价形式，在此就列举其中一些。这里的符号设定如下:C[x[1]...x[n]]为C上多项式环，C[F[1],...F[n]]为C与F[1],...F[n]构成的多项式的环
1.非分歧性(Unramified)：
C[x[1]...x[n]]在C[F[1],...F[n]]上非分歧
2.平坦性
C[x[1]...x[n]]在C[F[1],...F[n]]上平坦
3.有限维
C[x[1]...x[n]]在C[F[1],...F[n]]上有限维，就是F[1],...F[n]在C上代数无关（不存在多项式P，使得P(F[1]...F[n])=0）
更多情况请见：
http://www.ohio.edu/people/lopez/center/formanek1.pdf

二维雅可比猜想的方法，也就是张益唐和他的导师莫宗坚研究的情况还有些特殊方法，在此就不再详述了。

前排

一直在纠结要不要插楼。。终于下定决心之后。。前排没了。。

注意要区分两个雅可比猜想，以前新闻报道的不是这个
早报讯近日，由中国计量学院陈彭年教授主持的国家级科研项目《非线性系统镇定和非线性逼近》研究成果，成功破解了世界著名难题——Jacobi猜想，并在航空航天技术中开发应用。经专家评审，该项成果达到了当前国际领先水平。
　　在数学中，有两个问题被称为Jacobi猜想。一个是关于多项式映射的可逆性问题，这个问题至今没有解决。另一个Jacobi猜想，也就是这里要讲的Jacobi猜想，是关于平面微分方程全局渐近稳定性问题的，其大意是：如果一个平面微分方程的向量场在每一点的Jacobi矩阵是稳定的，那么该微分方程的平衡解是全局渐近稳定的。因为这个猜想中的条件是借助Jacobi矩阵表达的，所以称为Jacobi猜想。
　　早在1986年美国IEEE（电气电子工程师协会）控制系统学会召开的一次高峰会议上，非线性系统稳定就被列为最重要的未解决问题之一，而Jacobi猜想，正是常微分方程稳定性理论中的一个著名猜想。该猜想自1961年被提出以来，许多国际著名数学家一直在研究它。国际著名数学家、波兰（Banach）国际数学研究中心主任Olech教授曾说，他对这个问题一直感兴趣，已经30多年。
　　非线性系统广泛存在于航空航天领域的控制系统、机器人控制系统等。据悉，以陈彭年教授为首的项目组对《非线性系统镇定和非线性逼近》和Jacobi猜想的研究成果已成功开发，应用于资源卫星太阳能帆板驱动系统的稳定性分析。
　　国际知名杂志《Automatica》高度评价该项目，认为其主要论文所涉及的数学推导和思想都是严谨的，论文所提出的非线性动态输出反馈镇定的新方法，极大克服了现存方法的缺点。《美国数学评论》对陈彭年教授主持的关于Jacobi猜想的工作发表了4次评论，给予极大肯定，认为他们已经独立解决了Jacobi猜想。

惊现！打字的贴必须好好看啊

前排

哇，高大上。我这里一个师姐好像是作这个的

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