概率论的第三个公理说，可数无穷个两两互斥的事件的并的概率，等于这些事件的概率的和（无穷级数的收敛值）。但我发现这个公理似乎有问题。
考虑这样一个试验：在1/2，1/3，1/4，......，1/(i+1)，......这可数无穷多个数中，等可能地取一个数。
设事件Ai为：取到的数是1/(i+1)，i=1，2，3，......
显然这些事件两两互斥
那么，P(Ai)都等于0（证明见后面）
那么，P(Ai)相加的无穷级数的收敛值为0，故全集的概率为0。这显然是荒谬的。
这个问题该如何解决呢？是我哪里错了吗？还是概率论的公理错了？
附：证明对任意正整数i，P(Ai)=0：
P(Ai)是[0,1]间的实数。若P(Ai)不等于0，那么它大于零，那么存在正整数n，使得n乘P(Ai)>1。由于是等可能地取数，所以P(A1)=P(Ai),P(A2)=P(Ai),......,P(An)=P(Ai)，所以P(A1并A2并......An)=n>1，而这是不可能的，所以P(Ai)=0