第十三题
三边锐角形之对锐角边上直角方形,小于余边上两直角方形并之较,为锐角旁任用一边,偕其对角所下垂线旁之近锐角分线,矩内直角形二。
解曰:
甲乙丙三边锐角形,从一角如甲,向对边乙丙下一垂线,分乙丙于丁。题言对甲丙乙锐角之甲乙边上直角方形,小于乙丙边上两直角方形并之较,为乙丙偕丁丙矩线内直角形二。反说之,则乙丙、甲丙上两直角方形并,与甲乙上直角方形、及乙丙偕丁丙矩线内直角形二并,等。【即(a+b)2+c2=d2+2(a+b)b;〖视乙丁为a,丁丙为b,甲丙为c,甲乙为d。〗或a2+b2=c2+2ad。〖视乙丙a,甲丙为b,甲乙为c,丁丙为d。〗】】
论曰:
乙丙线,既然任分于丁,即乙丙、丁丙上两直角方形并,与乙丙偕丁丙矩线内直角形二、及乙丁上直角方形并,等。〖本篇七。〗此二率者,每加一甲丁上直角方形,即乙丙、丁丙、甲丁上直角方形三,与乙丙偕丁丙矩线内直角形二、及乙丁、甲丁上两直角方形并,等也。又甲丙上直角方形,等于丁丙、甲丁上两直角方形并,〖《一卷》四七。〗即乙丙、甲丙上两直角方形并,与乙丙偕丁丙矩线内直角形二、及乙丁、甲丁上两直角方形并,等也。又甲乙上直角方形,等于乙丁、甲丁上两直角方形并,〖《一卷》四七。〗即乙丙、甲丙上两直角方形并,与乙丙偕丁丙矩线内直角形二、及甲乙上直角方形并,等。反说之,则甲乙上直角方形,小于乙丙、甲丙上两直角方形并者,为乙丙偕丁丙矩线内直角形二也。
注曰:
题中止论锐角形,不言直角、钝角形。而直角、钝角形中,俱有两锐角,〖《一卷》十七、卅二。〗即对锐角边上形,亦同此论。〖如第二、第三图是。〗但三锐角形所作垂线,任用一角,而直角形必用直角、钝角形必用钝角,此为异耳。〖直角、钝角形,不用直角、钝角,不能作垂线。〗